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被开方数
把各个二次根式化为
最简二次根式
合并同类二次根式
2
D
D
解：原式= $3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$
解：原式​$= 9\sqrt {3}+14\sqrt {3}-16\sqrt {3}$​
​$=7\sqrt {3}$​
D
A
C
D
是
【分析】
这道题是对同类二次根式定义的直接考查，解题时需要回忆同类二次根式的核心概念：二次根式需先经过化简，判断是否为同类二次根式的关键依据是化简后的被开方数是否相同，因此要明确此处应填写定义中的核心要素。
【解析】
根据同类二次根式的定义：经过化简后，被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式。所以横线处应填“被开方数”。
【答案】
被开方数
【知识点】
同类二次根式定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查学生对同类二次根式定义的记忆与理解，需准确区分同类二次根式与同类项的概念差异，同类二次根式的判定核心是化简后被开方数相同。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，我们需要回忆二次根式加减运算的基本法则。首先，二次根式相加减时，不同形式的二次根式无法直接合并，所以第一步必须把每个二次根式都化简为最简二次根式，这样才能识别出其中的同类二次根式；之后，再把被开方数相同的同类二次根式进行合并，这就是二次根式加减的核心步骤。
【解析】
二次根式相加减的运算步骤为：先将每个二次根式化简为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并。
【答案】
化简每个二次根式，合并同类二次根式
【知识点】
二次根式的加减法则
【点评】
本题考查二次根式加减运算的基本步骤，属于基础概念题，牢记该法则是进行二次根式加减运算的前提，务必熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这个问题，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式。因此解题步骤为：先将题目中的每个二次根式化简为最简形式，再对比化简后的被开方数是否与$\sqrt{2}$的被开方数（即2）相同，最后统计符合条件的根式个数。
【解析】
先逐个化简各二次根式：
1. $\sqrt{16} = 4$，这是整数，不属于二次根式范畴，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
2. $\sqrt{72} = \sqrt{36 × 2} = \sqrt{36} × \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式；
3. $\sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = \sqrt{16} × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
4. $\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{2}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式。
综上，符合条件的同类二次根式有2个。
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式定义，二次根式化简
【点评】
本题重点考查同类二次根式的识别，核心是掌握二次根式的化简方法及同类二次根式的本质特征（最简后被开方数相同）。需注意像$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$这类分数形式的二次根式，要通过分母有理化化为最简形式，避免因化简不彻底导致判断错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断哪个二次根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，需先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式。因此解题思路为：将每个选项中的二次根式化为最简形式，再对比其被开方数是否与$\sqrt{3}$的被开方数（3）一致，一致的即为同类二次根式。
【解析】
解：根据同类二次根式的定义，对各选项逐一化简判断：
1. 选项A：$\sqrt{9} = 3$，结果为整数，不是二次根式，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$，最简形式的被开方数是2，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{0.3} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$，最简形式的被开方数是30，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，最简形式的被开方数是3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式定义，二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心是掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的定义，需注意小数形式的二次根式要先转化为分数形式再化简，避免出错。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，关键是掌握二次根式的加减运算法则：只有同类二次根式（被开方数相同的二次根式）才能合并，合并时将系数相加减，被开方数和根指数保持不变；不是同类二次根式的不能直接合并，也不能错误地将根号内的数直接相加减。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{8}$与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，不能直接将根号内的数相减，该选项计算错误；
2. 选项B：应先分别化简$\sqrt{9}$和$\sqrt{4}$再相加，不能直接将根号内的数相加，该选项计算错误；
3. 选项C：$3\sqrt{5}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式，合并时需系数相减、根式部分不变，结果应为$2\sqrt{5}$而非2，该选项计算错误；
4. 选项D：$2\sqrt{3}$与$4\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相减，计算结果正确。
【解析】
对各选项逐一计算验证：
选项A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，无法合并，故$\sqrt{8}-\sqrt{6}≠\sqrt{8-6}$，A错误；
选项B：$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$，而$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}≠5$，B错误；
选项C：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠2$，C错误；
选项D：$2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算；同类二次根式
【点评】
本题考查二次根式加减运算的基础规则，易错点在于混淆合并逻辑，错误操作非同类二次根式或改变被开方数。解题需牢记：同类二次根式仅合并系数，根式部分保持不变，非同类二次根式不能直接合并。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题考查二次根式的加减运算，解题核心思路是：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只有被开方数相同的最简二次根式才能合并）。
对于（1）：先分别化简$\sqrt{27}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，其中$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$需要进行分母有理化，化简后观察到无同类二次根式，直接整理即可；
对于（2）：先化简$\sqrt{12}$、$\sqrt{48}$，得到最简二次根式后，发现均为同类二次根式，再将系数相加减，根号部分保持不变。
【解析】
（1）将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3×2}}{\sqrt{2×2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，
则原式$=3\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
代入原式得：
原式$=9\sqrt{3}+7×2\sqrt{3}-4×4\sqrt{3}=9\sqrt{3}+14\sqrt{3}-16\sqrt{3}$，
合并同类二次根式：$(9+14-16)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{3\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$；
（2）$\boldsymbol{7\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题，关键在于掌握最简二次根式的化简方法（含分母有理化），以及同类二次根式的合并规则：同类二次根式合并时，根号部分不变，仅将系数相加减，非同类二次根式不能合并。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断二次根式能否合并，关键是判断它们是否为同类二次根式。同类二次根式的定义是：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此，我们需要将每个选项中的二次根式化为最简形式，再对比它们的被开方数是否相同，相同则可以合并，反之则不能。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{6}$和$3\sqrt{2}$均为最简二次根式，被开方数分别为6和2，不相同，不能合并；
选项B：$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，与$\sqrt{2a}$的被开方数分别为$a$和$2a$，不相同，不能合并；
选项C：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，化简后被开方数分别为6和3，不相同，不能合并；
选项D：$2\sqrt{a^{3}b}=2\sqrt{a^2· ab}=2a\sqrt{ab}$，$-\sqrt{ab^{3}}=-\sqrt{b^2· ab}=-b\sqrt{ab}$，化简后被开方数均为$ab$，属于同类二次根式，可以合并。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题重点考查同类二次根式的概念，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记“只有化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式才能合并”这一核心要点，避免因未化简直接判断而出现错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
这是一道二次根式方程求解的题目。解题思路如下：首先，观察等式$\sqrt{a + 2}-\sqrt{2a - 3}=0$，先通过移项将两个二次根式转化为相等的形式，即$\sqrt{a+2}=\sqrt{2a-3}$；由于二次根式的值是非负的，等式两边同时平方可去掉根号，转化为一元一次方程求解；最后需要检验所求的$a$值是否满足二次根式有意义的条件（被开方数非负），确保解的合理性。
【解析】
解：已知$\sqrt{a + 2}-\sqrt{2a - 3}=0$，
1. 移项得：$\sqrt{a+2}=\sqrt{2a-3}$；
2. 等式两边同时平方（等式两边均为非负数，平方后等式成立）：
$a + 2 = 2a - 3$；
3. 解一元一次方程：
移项得：$2a - a = 2 + 3$，
合并同类项得：$a = 5$；
4. 检验：
当$a=5$时，$a+2=5+2=7≥0$，$2a-3=2×5-3=7≥0$，均满足二次根式有意义的条件，故$a=5$是原方程的解。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，一元一次方程求解，二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式的性质与方程求解的结合应用，核心是利用二次根式的非负性将方程转化为整式方程，同时务必注意检验解是否满足二次根式有意义的条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题考查二次根式的加减运算，解题关键是掌握同类二次根式的定义及合并规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时将系数相加减，根式部分（被开方数和根指数）保持不变。我们需要逐个分析选项，判断其是否符合合并规则。
【解析】
二次根式加减运算的核心是同类二次根式的合并，同类二次根式需满足被开方数相同、根指数相同（本题中根指数都是2），以下是对各选项的分析：
选项A：3是有理数，$\sqrt{2}$是二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，因此A错误；
选项B：$3\sqrt{2a}$的被开方数是$2a$，$3\sqrt{3a}$的被开方数是$3a$，被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，因此B错误；
选项C：$m\sqrt{a}$与$n\sqrt{a}$是同类二次根式，合并时将系数相减，得到$(m - n)\sqrt{a}$，符合合并规则，因此C正确；
选项D：先化简$4\sqrt{5a^3}$，$4\sqrt{5a^3}=4a\sqrt{5a}$，再与$\sqrt{5a}$合并，结果应为$(4a+1)\sqrt{5a}$，而非$5\sqrt{5a}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 同类二次根式的定义
2. 二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础题型，重点考查同类二次根式的判断及合并法则。解题时需注意：非同类二次根式不能直接合并，含有字母的二次根式需先化简为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式后进行合并，避免因概念混淆或化简不彻底导致错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先将等式右侧的$\sqrt{50}$化简为最简二次根式$5\sqrt{2}$。因为$x$、$y$是整数，所以$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$必须是与$\sqrt{2}$同类的二次根式（或为0），否则无法合并得到$5\sqrt{2}$。我们可通过设参数将无理方程转化为整数方程，再枚举非负整数解来确定$x$的可能值，最后统计$x$的个数。
【解析】
1. 化简等式右侧：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，原等式变形为：
$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5\sqrt{2}$
2. 分析根式形式：
由于$x$、$y$为整数，$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$必为同类二次根式（或为0），设$\sqrt{x}=a\sqrt{2}$，$\sqrt{y}=b\sqrt{2}$（$a$、$b$为非负整数，保证$x=2a^2$、$y=2b^2$为整数），代入等式得：
$a\sqrt{2}+2× b\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
3. 转化为整数方程：
两边同时除以$\sqrt{2}$，得到：
$a+2b=5$
4. 枚举非负整数解：
根据$a$、$b$为非负整数，枚举$b$的可能值：
当$b=0$时，$a=5-2×0=5$，此时$x=2×5^2=50$，$y=2×0^2=0$，符合整数条件；
当$b=1$时，$a=5-2×1=3$，此时$x=2×3^2=18$，$y=2×1^2=2$，符合整数条件；
当$b=2$时，$a=5-2×2=1$，此时$x=2×1^2=2$，$y=2×2^2=8$，符合整数条件；
当$b≥3$时，$a=5-2b≤-1$，$a$为负数，不符合$\sqrt{x}$非负的要求，舍去。
5. 统计$x$的个数：
满足条件的$x$为50、18、2，共3个。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，整数解枚举
【点评】
本题核心考查同类二次根式的性质，解题关键是将无理方程转化为整数方程，通过枚举非负整数解确定$x$的可能值，需注意根号下的数非负，参数需取非负整数，避免遗漏或错误解。
【难度系数】
0.4
【分析】
要判断两个二次根式是否为同类二次根式，需依据同类二次根式的定义：先将两个二次根式化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。首先把题中的小数转化为分数形式，再通过分母有理化将根式化简，最后对比化简后的被开方数即可得出结论。
【解析】
1. 化简$\sqrt{777.7}$：
将$777.7$化成分数：$777.7 = \frac{7777}{10}$，
则$\sqrt{777.7} = \sqrt{\frac{7777}{10}} = \frac{\sqrt{7777 × 10}}{\sqrt{10 × 10}} = \frac{\sqrt{77770}}{10}$；
2. 化简$\sqrt{0.07777}$：
将$0.07777$化成分数：$0.07777 = \frac{7777}{100000}$，
则$\sqrt{0.07777} = \sqrt{\frac{7777}{100000}} = \frac{\sqrt{7777 × 10}}{\sqrt{100000 × 10}} = \frac{\sqrt{77770}}{1000}$；
3. 对比化简结果：
两个最简二次根式的被开方数均为$77770$，符合同类二次根式的定义，因此二者是同类二次根式。
【答案】
是
【知识点】
同类二次根式的定义，二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心是掌握同类二次根式的本质：化简后被开方数相同。解题时需注意小数与分数的转化以及分母有理化的正确运算，避免因化简错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
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