第109页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：原式$=\sqrt {x}+2\sqrt {x}-2\sqrt {x}$

$=\sqrt {x}$

解：原式$=4\sqrt {ab}+2ab\sqrt {ab}-3\sqrt {ab}-6ab\sqrt {ab}$

$=\sqrt {ab}-4ab\sqrt {ab}$

解：$(1)C=6\sqrt {\frac {x}3}+\frac {3}{4}\sqrt {\frac {4x}3}+x\sqrt {\frac {12}{x}}=\frac {9}{2}\sqrt {3x}$

$(2)$当$x=12$时，周长为$\frac {9}{2}\sqrt {3x}=27$

解：原式$=(a-2b)\sqrt {7}+2a+3b+7=0$

∴$a-2b=0，2a+3b+7=0$

解得$a=-2，$$b=-1$

4

$\sqrt{17}-4$

解：$(2) $∵$2＜\sqrt 7＜3，$

∴$2+3＜3+\sqrt 7＜3+3，$

即$5＜3+\sqrt 7＜6，$

∴$3+\sqrt 7$的整数部分是$5，$小数部分$a=\sqrt 7-2。$

∵$1＜\sqrt 3＜2，$

∴$-2＜-\sqrt 3＜-1。$

∴$5-2＜5-\sqrt 3＜5-1，$即$3＜5-\sqrt 3＜4，$

∴$5-\sqrt 3$的整数部分$b=3。$

∴$a+\sqrt 3b=\sqrt 7-2+\sqrt 3×3=\sqrt 7+1$

【分析】
这两道题都是二次根式的加减运算，解题核心是先将每一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
对于（1），先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，分别化简$\sqrt{25x}$、$\sqrt{\frac{x}{16}}$、$\sqrt{4x}$，再计算每一项的结果，最后合并同类二次根式。
对于（2），由$b＞0$及二次根式被开方数非负的性质可知$a＞0$，再利用二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{mn}}{n}(m≥0,n＞0)$、$\sqrt{a^n}=a^{\frac{n}{2}}(a≥0,n为偶数)$化简各项，去括号后合并同类二次根式即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{5}·5\sqrt{x}+8·\frac{\sqrt{x}}{4}-2\sqrt{x}\\&=\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}\\&=\sqrt{x}\end{aligned}$
（2）
因为$b＞0$，二次根式被开方数非负，所以$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=4b·\frac{\sqrt{ab}}{b}+\frac{2}{a}·a^2b\sqrt{ab}-3ab·\frac{\sqrt{ab}}{ab}-3ab·2\sqrt{ab}\\&=4\sqrt{ab}+2ab\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}\\&=(4\sqrt{ab}-3\sqrt{ab})+(2ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab})\\&=\sqrt{ab}-4ab\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\sqrt{x}}$；（2）$\boldsymbol{\sqrt{ab}-4ab\sqrt{ab}}$
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式的合并
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，准确处理被开方数中的可开方因式，运算时注意符号与系数的计算，确保同类二次根式正确合并。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）求三角形周长需将三条边长相加，首先要把每一项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。化简时利用二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a≥0,b＞0$）将各项分母有理化，之后提取相同的$\sqrt{3x}$进行合并即可。
（2）要使周长$\frac{9\sqrt{3x}}{2}$为整数，需让$\sqrt{3x}$是2的倍数，即$3x$为某个偶数的平方，且$x＞0$（保证二次根式有意义、边长为正），选取满足条件的$x$值代入计算即可。
【解析】
（1）计算三角形的周长：
$\begin{aligned}&6\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4x}{3}}+x\sqrt{\frac{12}{x}}\\=&6×\frac{\sqrt{3x}}{3}+\frac{3}{4}×\frac{2\sqrt{3x}}{3}+x·\frac{2\sqrt{3x}}{x}\\=&2\sqrt{3x}+\frac{\sqrt{3x}}{2}+2\sqrt{3x}\\=&(2+\frac{1}{2}+2)\sqrt{3x}\\=&\frac{9\sqrt{3x}}{2}\end{aligned}$
（2）取$x=12$（$x＞0$，且$3x=36$是完全平方数），代入周长公式：
$\frac{9\sqrt{3×12}}{2}=\frac{9×\sqrt{36}}{2}=\frac{9×6}{2}=27$
（注：$x$也可取其他合适的值，如$x=\frac{4}{3}$时，周长为$\frac{9\sqrt{3×\frac{4}{3}}}{2}=\frac{9×2}{2}=9$，答案不唯一）
【答案】
（1）$\frac{9\sqrt{3x}}{2}$；
（2）当$x=12$时，周长为27（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与加减运算，以及三角形周长的计算。解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，同时需注意二次根式有意义的条件（$x＞0$），选取$x$值时要保证周长为整数，考查了对二次根式性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先，根据有理数和无理数的运算性质：无理数与非零有理数相乘的结果是无理数，有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数。题目中等式左边是含无理数$\sqrt{7}$和有理数$a$、$b$的式子，要使整个式子等于0，必须让无理数部分的系数为0，同时有理数部分的和也为0，由此可列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
对原式展开并整理，分离含$\sqrt{7}$的项与有理数项：
$\begin{aligned}(\sqrt{7}+2)a+(3 - 2\sqrt{7})b+7&=0\\\sqrt{7}a + 2a + 3b - 2\sqrt{7}b + 7&=0\\(a - 2b)\sqrt{7} + (2a + 3b + 7)&=0\end{aligned}$
因为$a$、$b$是有理数，$\sqrt{7}$是无理数，要使上式成立，需满足：
$\begin{cases}a - 2b = 0&(1)\\2a + 3b + 7 = 0&(2)\end{cases}$
由方程(1)得：$a = 2b$，将其代入方程(2)：
$\begin{aligned}2×2b + 3b + 7 &= 0\\4b + 3b &= -7\\7b &= -7\\b &= -1\end{aligned}$
把$b = -1$代入$a = 2b$，得$a = 2×(-1) = -2$。
【答案】
$a = -2$，$b = -1$
【知识点】
1. 有理数与无理数的性质
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题借助有理数与无理数的运算性质，将等式拆分为无理数项和有理数项，通过构造二元一次方程组求解，既考查了对无理数概念的理解，也考查了二元一次方程组的求解能力，是对基础概念和运算的综合考查。
【难度系数】
0.6

【分析】
1. 对于第(1)问，要确定$\sqrt{17}$的整数部分，需找到与17相邻的两个完全平方数，因为$16＜17＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，由此可知$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分则是$\sqrt{17}$减去它的整数部分。
2. 对于第(2)问，先求$3+\sqrt{7}$的小数部分$a$：先确定$\sqrt{7}$的范围，$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，给不等式两边同时加3，得到$5＜3+\sqrt{7}＜6$，可知其整数部分是5，小数部分$a=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$；再求$5-\sqrt{3}$的整数部分$b$：先确定$\sqrt{3}$的范围$1＜\sqrt{3}＜2$，给不等式两边同时乘-1得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，再给两边同时加5得$3＜5-\sqrt{3}＜4$，所以整数部分$b=3$；最后将$a$和$b$代入$a+\sqrt{3}b$进行计算即可。
【解析】
(1) $\because 16＜17＜25$，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) $\because 4＜7＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore 2+3＜3+\sqrt{7}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{7}＜6$，
$\therefore 3+\sqrt{7}$的整数部分是$5$，小数部分$a=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$。
$\because 1＜3＜4$，
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore -2＜-\sqrt{3}＜-1$，
$\therefore 5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即$3＜5-\sqrt{3}＜4$，
$\therefore 5-\sqrt{3}$的整数部分$b=3$。
$\therefore a+\sqrt{3}b=\sqrt{7}-2+\sqrt{3}×3=\sqrt{7}-2+3=\sqrt{7}+1$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $\sqrt{7}+1$
【知识点】
无理数的估算，整数与小数部分确定，代数式求值
【点评】
本题主要考查无理数的估算及代数式求值，核心是通过找到被开方数相邻的完全平方数来确定无理数的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分，解题过程中需灵活运用不等式的基本性质进行推导，属于基础题型，能帮助学生巩固无理数的相关概念及运算。
【难度系数】
0.6