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D
D
-1
$a + 4\sqrt{a} + 4$
解：原式​$=3\sqrt {2}-6\sqrt {5}-3\sqrt {2}$​
​$=-6\sqrt {5}$​
解：原式​$=4+2+4\sqrt {2}-4\sqrt {2}+12$​
​$=18$​
解：原式​$=2\sqrt {3}-(\sqrt {3}-1)-\sqrt {3}$​
​$=2\sqrt {3}-\sqrt {3}+1-\sqrt {3}$​
​$=1$​
解：原式​$=(2\sqrt {5})²-(\sqrt {3})²-(2+10-4\sqrt {5})$​
​$=20-3-2-10+4\sqrt {5}$​
​$=5+4\sqrt {5}$​
24
$\sqrt{5}$
$-\sqrt{3} - 2$
B
【分析】
这道题考查二次根式的运算，需逐个选项结合相关法则判断对错：首先明确同类二次根式才能合并，可判断选项A；根据二次根式乘法法则判断选项B；利用完全平方公式展开计算判断选项C；借助平方差公式计算判断选项D，最终确定正确选项。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并，因此A错误；
选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠6$，因此B错误；
选项C：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开：
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}≠5$，因此C错误；
选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=2-3=-1$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、乘法公式的应用、同类二次根式的判断
【点评】
本题聚焦二次根式的基础运算，覆盖了同类二次根式合并、二次根式乘法及乘法公式的应用，学生需熟练掌握相关法则与公式，避免出现非同类根式直接合并、运算法则误用等常见错误，是对二次根式运算能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
【分析】
这是一道二次根式的混合运算题，解题思路如下：首先回忆二次根式的除法运算法则，除以一个二次根式等于乘以它的倒数，因此可将原式中的除法转化为乘法；接着利用乘法分配律，将括号内的每一项分别与转化后的二次根式相乘；再根据二次根式的乘法法则计算每一项，化简二次根式后整理结果，最后对比选项得出答案。
【解析】
$\begin{aligned}&(2\sqrt{30}-\sqrt{24})÷\sqrt{\frac{1}{6}}\\=&(2\sqrt{30}-\sqrt{24})×\sqrt{6}&\mathrm{（除以一个数等于乘以它的倒数，}\sqrt{\frac{1}{6}}\mathrm{的倒数为}\sqrt{6}\mathrm{）}\\=&2\sqrt{30}×\sqrt{6} - \sqrt{24}×\sqrt{6}&\mathrm{（利用乘法分配律展开）}\\=&2\sqrt{30×6} - \sqrt{24×6}&\mathrm{（二次根式乘法法则：}\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\mathrm{，}a≥0,b≥0\mathrm{）}\\=&2\sqrt{180} - \sqrt{144}\\=&2×6\sqrt{5} - 12&\mathrm{（化简二次根式：}\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=6\sqrt{5}\mathrm{，}\sqrt{144}=12\mathrm{）}\\=&12\sqrt{5}-12\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的乘除法法则
【点评】
本题主要考查二次根式的混合运算，核心是掌握除法转乘法的运算技巧及乘法分配律的应用，计算过程中需注意二次根式的化简，确保结果为最简形式，避免因化简错误导致选错答案。
【难度系数】
0.7
【分析】
观察到算式是两个二项式相乘，形式为$(a+b)(a-b)$，符合平方差公式的结构，因此可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$简化计算，无需直接展开，能提升解题效率。确定$a=\sqrt{3}$，$b=2$，代入公式计算即可。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=\sqrt{3}$，$b=2$代入：
$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2$
计算得：$3 - 4 = -1$
【答案】
-1
【知识点】
平方差公式，二次根式的乘方
【点评】
本题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用，利用公式可快速简化运算，避免复杂计算，熟练掌握平方差公式和二次根式乘方法则是解题核心。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这个问题，首先明确正方形的面积计算公式为边长的平方。已知正方形边长为$\sqrt{a}+2$，因此需要计算$(\sqrt{a}+2)^2$。接下来回忆完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m=\sqrt{a}$，$n=2$代入公式展开，分别计算每一项的值，最后合并即可得到结果。
【解析】
根据正方形的面积公式：$S = 边长^2$，已知边长为$\sqrt{a}+2$，则：
$S=(\sqrt{a}+2)^2$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开：
$=(\sqrt{a})^2 + 2×\sqrt{a}×2 + 2^2$
计算各项：
$=a + 4\sqrt{a} + 4$
即$a + 4 + 4\sqrt{a}$
【答案】
$a + 4 + 4\sqrt{a}$
【知识点】
完全平方公式、正方形面积计算、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查正方形面积公式的应用以及完全平方公式在二次根式运算中的使用，属于基础题，计算时需注意二次根式的平方运算和乘法运算的准确性，避免漏项或计算错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
这四道题均为二次根式的混合运算，解题核心是结合运算法则与乘法公式逐步化简：
1. 第(1)题：先利用乘法分配律展开括号，分别计算二次根式乘法，再化简各项，最后合并同类二次根式；
2. 第(2)题：先通过完全平方公式计算平方项，再用乘法分配律计算二次根式乘法，最后去括号合并同类项；
3. 第(3)题：先计算二次根式乘法，再对分式进行分母有理化，化简最后一项的二次根式，最后去括号合并同类二次根式；
4. 第(4)题：前半部分用平方差公式简化计算，后半部分用完全平方公式展开，再去括号合并同类项。
【解析】
（1）$(\sqrt{6}-2\sqrt{15})×\sqrt{3}-6\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}×\sqrt{3} - 2\sqrt{15}×\sqrt{3} - 6×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{18} - 2\sqrt{45} - 3\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2} - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$
$=-6\sqrt{5}$
（2）$(2+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{8}×(2-3\sqrt{2})$
$=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}×(2 - 3\sqrt{2})$
$=4 + 4\sqrt{2} + 2 - (4\sqrt{2} - 6×2)$
$=6 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 12$
$=18$
（3）$\sqrt{2}×\sqrt{6}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}-9\sqrt{\frac{1}{27}}$
$=\sqrt{12} - \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} - 9×\frac{\sqrt{3}}{9}$
$=2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3}$
$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$=1$
（4）$(2\sqrt{5}-\sqrt{3})(2\sqrt{5}+\sqrt{3})-(\sqrt{2}-\sqrt{10})^{2}$
$=(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 - [(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2]$
$=20 - 3 - (2 - 2\sqrt{20} + 10)$
$=17 - (12 - 4\sqrt{5})$
$=17 - 12 + 4\sqrt{5}$
$=5 + 4\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6\sqrt{5}}$；(2) $\boldsymbol{18}$；(3) $\boldsymbol{1}$；(4) $\boldsymbol{5 + 4\sqrt{5}}$
【知识点】
1. 二次根式的混合运算；2. 乘法公式的应用；3. 分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的混合运算能力，需熟练掌握二次根式的运算法则、完全平方公式、平方差公式及分母有理化技巧，运算时需注意符号变化，准确合并同类二次根式。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先利用完全平方公式展开左边的式子，再通过合并同类项将其整理成$a+b\sqrt{2}$的形式，然后根据等式两边有理数部分和无理数部分分别对应相等的原则，求出$a$和$b$的值，最后计算$ab$的乘积即可。具体步骤如下：首先回忆完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m=2$，$n=\sqrt{2}$代入展开；接着计算各项并合并有理数部分；最后对比等式两边确定$a$、$b$，进而算出$ab$。
【解析】
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(2+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(2+\sqrt{2})^2&=2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4 + 4\sqrt{2} + 2\\&=6 + 4\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$(2+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}$（$a$，$b$为有理数），等式两边有理数部分和无理数部分对应相等，所以可得$a=6$，$b=4$。
则$ab=6×4=24$。
【答案】
24
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，实数相等的条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用以及实数相等的条件，属于基础题。解题时需熟练掌握二次根式的运算规则，准确对应等式两边的有理数和无理数部分，计算过程中注意细心，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用完全平方公式将所求式子转化为与已知条件相关的形式。首先观察到$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$的平方展开后会包含$a+\frac{1}{a}$，这正是题目给出的已知条件，所以先对所求式子进行平方运算，代入已知值求出平方后的结果，再根据二次根式的非负性确定最终结果的正负。
【解析】
设$x = \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$，对其两边平方：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^2\\&=(\sqrt{a})^2 + 2×\sqrt{a}×\frac{1}{\sqrt{a}} + (\frac{1}{\sqrt{a}})^2\\&=a + 2 + \frac{1}{a}\end{aligned}$
已知$a + \frac{1}{a} = 3$，将其代入上式：
$x^2 = 3 + 2 = 5$
因为$\sqrt{a}$是二次根式，所以$\sqrt{a} ＞ 0$，则$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} ＞ 0$，因此$x = \sqrt{5}$，即$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式非负性
【点评】
本题主要考查完全平方公式的逆用以及二次根式的非负性，解题关键是通过平方运算建立所求式子与已知条件的联系，同时要注意根据二次根式的性质确定结果的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
观察题目可知，两个因式的指数较大，直接计算难度极高，需利用幂的运算性质与乘法公式简化计算。首先将指数2026拆分为2025+1，把$(\sqrt{3}+2)^{2026}$转化为$(\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2025}$；再发现$(\sqrt{3}+2)$与$(\sqrt{3}-2)$符合平方差公式的形式，它们的乘积为-1，利用积的乘方逆运算将$(\sqrt{3}+2)^{2025} × (\sqrt{3}-2)^{2025}$合并为$[(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)]^{2025}$，最后结合乘方的符号规律计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}+2)^{2026} × (\sqrt{3}-2)^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2025} × (\sqrt{3}-2)^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × [(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)]^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × [(\sqrt{3})^2 - 2^2]^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × (3 - 4)^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × (-1)^{2025}\\=&(\sqrt{3}+2) × (-1)\\=&-\sqrt{3} - 2\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算；2. 平方差公式；3. 二次根式混合运算
【点评】
本题主要考查幂的运算性质与平方差公式的灵活运用，核心是通过拆分指数、逆用积的乘方运算，将高次幂运算转化为简便的乘法运算，既考查了对公式的掌握程度，又锻炼了学生的运算技巧与化简思维。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题思路是利用多项式乘多项式的法则（即分配律），将第一个括号中的每一项分别与第二个括号中的每一项相乘，再对各项中的二次根式进行化简，最后合并同类二次根式得到结果，再对照选项选出答案。具体思考步骤：首先回忆多项式乘法法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，将原式展开；然后根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算各项乘积；接着化简被开方数能开尽的二次根式；最后合并同类二次根式，抵消互为相反数的项，得到最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(5+\sqrt{6})×(5\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\=&5×5\sqrt{2} +5×(-2\sqrt{3}) +\sqrt{6}×5\sqrt{2} +\sqrt{6}×(-2\sqrt{3})\\=&25\sqrt{2} -10\sqrt{3} +5\sqrt{6×2} -2\sqrt{6×3}\\=&25\sqrt{2} -10\sqrt{3} +5\sqrt{12} -2\sqrt{18}\\=&25\sqrt{2} -10\sqrt{3} +5×2\sqrt{3} -2×3\sqrt{2}\\=&25\sqrt{2} -10\sqrt{3} +10\sqrt{3} -6\sqrt{2}\\=&(25\sqrt{2} -6\sqrt{2})+(-10\sqrt{3} +10\sqrt{3})\\=&19\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式法则，二次根式的混合运算，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是熟练运用多项式乘法法则展开式子，掌握二次根式的化简方法及同类二次根式的合并规则。计算过程中需注意符号的准确性，以及二次根式化简时被开方数的分解，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
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