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B
4
解：原式​$=2-2\sqrt {2}-(2+\sqrt {2})$​
​$=2-2\sqrt {2}-2-\sqrt {2}$​
​$=-3\sqrt {2}$​
解：原式​$=a\sqrt {ab}-\frac {4}{3}a$​
解：原式​$=2\sqrt {x}+2\sqrt {y}=2\sqrt {3}+2\sqrt {\frac 13}=\frac {8}{3}\sqrt {3}$​
解：（1）因为$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2，$
$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{3}}{(\sqrt{4}-\sqrt{3})(\sqrt{4}+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}，$
且$\sqrt{5}+2＞2+\sqrt{3}，$所以$\frac{1}{\sqrt{5}-2}＞\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}，$
又因为$\sqrt{5}-2$与$\sqrt{4}-\sqrt{3}$都是正数，所以$\sqrt{5}-2＜\sqrt{4}-\sqrt{3}。$
（2）猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$为正整数）。
证明：因为$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}，$$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}，$
且$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}，$
所以$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}＞\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}，$
又因为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$与$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$都是正数，
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}。$
【分析】
要解决这道二次根式混合运算题，思路如下：首先根据二次根式的化简规则，将括号内的非最简二次根式化为最简二次根式，这样才能进行加减运算；接着计算括号内的减法，得到一个最简二次根式；最后利用二次根式的除法法则进行运算，同时注意分母有理化，最终得到结果后与选项对比即可。
【解析】
1. 化简括号内的二次根式：
$2\sqrt{48}=2\sqrt{16×3}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
$3\sqrt{27}=3\sqrt{9×3}=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
2. 计算括号内的减法：
$2\sqrt{48}-3\sqrt{27}=8\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
3. 进行除法运算并化简：
$(-\sqrt{3})÷\sqrt{6}=-\sqrt{\frac{3}{6}}=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是先将二次根式化为最简形式，再遵循先括号内后括号外的运算顺序计算，运算过程中要注意符号的处理和分母有理化的规范，属于基础运算题，有助于巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.7
【分析】
观察原式可知，每个分式的分母均为两个连续奇数的算术平方根之和，直接通分计算繁琐。我们可以利用平方差公式对每个分式进行分母有理化，将其转化为两个根式的差的形式，再通过裂项相消的方法抵消中间重复的项，从而简化计算。具体步骤为：先对单个分式进行分母有理化，找出规律后，将所有分式展开，合并同类项（抵消中间项），最后计算剩余项的结果。
【解析】
第一步，对每个分式进行分母有理化：
对于一般项$\frac{1}{\sqrt{2n+7}+\sqrt{2n+9}}$（其中$n$从1到56，当$2n+9=121$时，$n=56$），利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，给分子分母同乘$\sqrt{2n+9}-\sqrt{2n+7}$，得：
$\frac{1}{\sqrt{2n+7}+\sqrt{2n+9}}=\frac{\sqrt{2n+9}-\sqrt{2n+7}}{(\sqrt{2n+9}+\sqrt{2n+7})(\sqrt{2n+9}-\sqrt{2n+7})}=\frac{\sqrt{2n+9}-\sqrt{2n+7}}{(2n+9)-(2n+7)}=\frac{\sqrt{2n+9}-\sqrt{2n+7}}{2}$
第二步，将原式中每个分式按上述形式展开：
原式$=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{9}}{2}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{11}}{2}+···+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{119}}{2}$
第三步，提取公因式$\frac{1}{2}$，并抵消中间项：
原式$=\frac{1}{2}[(\sqrt{11}-\sqrt{9})+(\sqrt{13}-\sqrt{11})+···+(\sqrt{121}-\sqrt{119})]$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{121}-\sqrt{9})$
第四步，计算结果：
$\sqrt{121}=11$，$\sqrt{9}=3$，代入得：
原式$=\frac{1}{2}(11-3)=\frac{1}{2}×8=4$
【答案】
4
【知识点】
分母有理化、裂项相消法、平方差公式
【点评】
本题主要考查分母有理化与裂项相消的综合应用，解题关键是观察算式结构，利用平方差公式将分式转化为可裂项的形式，通过抵消中间项简化运算，既考查了对根式运算的掌握，也考验了学生的观察能力与运算技巧。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）第一题解题思路：先化简括号内的二次根式，再运用二次根式除法法则计算括号内式子与$\sqrt{3}$的商，接着对分式进行分母有理化，最后合并同类二次根式得到结果。具体步骤为：先将$3\sqrt{\frac{4}{3}}$和$\sqrt{24}$化为最简二次根式，再分别除以$\sqrt{3}$；对$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$通过分子分母同乘有理化因式$(2+\sqrt{2})$去掉分母中的根号，最后将两部分结果相减合并。
（2）第二题解题思路：分别化简两项，再合并结果。第一项利用二次根式性质化简，第二项根据二次根式除法法则，系数与系数相除、被开方数与被开方数相除，结合$a＞0,b＞0$的条件确定开方结果，最后将两项合并。
【解析】
（1）计算$(3\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{24})÷\sqrt{3}-\frac{2}{2-\sqrt{2}}$：
① 化简括号内的二次根式：
$3\sqrt{\frac{4}{3}}=3×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$；
② 计算括号内式子除以$\sqrt{3}$：
$(2\sqrt{3}-2\sqrt{6})÷\sqrt{3}=2\sqrt{3}÷\sqrt{3}-2\sqrt{6}÷\sqrt{3}=2-2\sqrt{2}$；
③ 对分式进行分母有理化：
$\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2}=2+\sqrt{2}$；
④ 合并结果：
原式$=(2-2\sqrt{2})-(2+\sqrt{2})=2-2\sqrt{2}-2-\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$。
（2）计算$\frac{a}{b}\sqrt{ab^{3}}+(-\frac{2}{3}\sqrt{ab})÷\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$：
① 化简第一项：
$\frac{a}{b}\sqrt{ab^{3}}=\frac{a}{b}× b\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}$；
② 计算第二项的二次根式除法：
$(-\frac{2}{3}\sqrt{ab})÷\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}=(-\frac{2}{3}÷\frac{1}{2})×\sqrt{ab÷\frac{b}{a}}=-\frac{4}{3}×\sqrt{ab×\frac{a}{b}}=-\frac{4}{3}×\sqrt{a^2}=-\frac{4}{3}a$（因$a＞0$，$\sqrt{a^2}=a$）；
③ 合并两项结果：
原式$=a\sqrt{ab}-\frac{4}{3}a$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3\sqrt{2}}$；（2）$\boldsymbol{a\sqrt{ab}-\frac{4}{3}a}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式乘除法
3. 分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的性质、乘除法法则及分母有理化方法，运算时注意符号处理，结合字母取值范围判断开方结果的正负，确保每一步运算准确。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先观察式子中的两个分式，第一个分式的分子$x-y$可利用平方差公式分解为$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$，与分母$\sqrt{x}-\sqrt{y}$约分；第二个分式的分子$x+y+2\sqrt{xy}$是完全平方形式$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$，与分母$\sqrt{x}+\sqrt{y}$约分。将两个约分后的式子合并化简，最后代入$x$和$y$的值计算出结果即可。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\\=&\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\\=&\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\\=&2\sqrt{x}+2\sqrt{y}\\\end{aligned}$
当$x=3$，$y=\frac{1}{3}$时，
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=2\sqrt{3}+2\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{3}+2×\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{6\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{8\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式化简求值，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题重点考查二次根式的运算及因式分解公式的应用，通过平方差公式和完全平方公式对分式约分是解题的核心，代入求值时需注意二次根式的分母有理化，熟练掌握相关公式和运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.6
【分析】
对于（1），我们可以模仿题目给出的方法：先分别求出$\sqrt{5}-2$与$\sqrt{4}-\sqrt{3}$的倒数，通过分母有理化化简倒数表达式，再比较两个倒数的大小；由于这两个数都是正数，根据“正数中倒数越大，原数越小”的规律，即可得出原数的大小关系。
对于（2），先根据（1）的结果进行猜想，再用同样的倒数法对一般情况进行推导：先对$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$和$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$的倒数进行分母有理化，比较倒数的大小，结合原数为正数的性质，证明猜想的结论。
【解析】
（1）计算两个数的倒数并化简：
$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，所以$\sqrt{5}+2＞\sqrt{3}+2$，
又因为$\sqrt{5}-2$与$\sqrt{4}-\sqrt{3}$都是正数，正数中倒数越大原数越小，
所以$\sqrt{5}-2＜\sqrt{4}-\sqrt{3}$。
（2）猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$为正整数）。
证明如下：
对两个数的倒数进行分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，
$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$。
因为$\sqrt{n+1}＞\sqrt{n-1}$（$n$为正整数），所以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$，
又因为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$与$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$都是正数，正数中倒数越大原数越小，
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。
【答案】
（1）$\boxed{\sqrt{5}-2＜\sqrt{4}-\sqrt{3}}$；
（2）$\boxed{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$（$n$为正整数）。
【知识点】
分母有理化、实数大小比较、二次根式运算
【点评】
本题通过示例引导学生运用倒数法结合分母有理化比较实数大小，既考查了二次根式的运算能力，又培养了学生类比推理、从特殊到一般的数学思维，有助于学生掌握灵活比较正数大小的技巧。
【难度系数】
0.6
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