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A
D
D
D
A
B
4
＜
$\frac{\sqrt{21}}{5}$
$5n\sqrt{2m}$
$2x-3$
1
1
解：原式​$=-15×\sqrt {\frac 8{27}×\frac {5}{4}×54}$​
​$=-15×2\sqrt {5}$​
​$=-30\sqrt {5}$​
解：原式​$=\sqrt {5ab×\frac {b}{125a}}$​
​$=\frac {b}{5}$​
【分析】
要判断二次根式是否一定有意义，需紧扣二次根式的定义：被开方数必须是非负数（即≥0）；若被开方数是分式，还需保证分母不为0。我们需要逐个分析每个式子：对于含常数的被开方数，直接计算其正负；对于含变量的被开方数，需判断在变量的所有可取范围内，被开方数是否恒为非负数，若存在某个变量取值使被开方数为负或式子无意义，则该式子不是“一定有意义”。
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0，分式形式的被开方数分母≠0），逐个分析：
① $\sqrt{π - 4}$：
因为$π≈3.14$，所以$π-4≈-0.86＜0$，被开方数为负数，式子无意义；
② $\sqrt{x^{2} - 6x + 9}$：
对被开方数因式分解得$x^2-6x+9=(x-3)^2$，由于任何实数的平方都是非负数，即$(x-3)^2≥0$对任意实数$x$恒成立，因此该式子一定有意义；
③ $\sqrt{\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}}$：
计算被开方数：$\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{16}{20}-\dfrac{15}{20}=\dfrac{1}{20}＞0$，被开方数为正数，式子有意义；
④ $\sqrt{x^{2} - 0.1}$：
当$x^2＜0.1$时（如$x=0$，$x^2=0$，$0-0.1=-0.1＜0$），被开方数为负数，式子无意义，因此该式子不是一定有意义；
⑤ $\sqrt{\dfrac{x^{2} + 5}{|x|}}$：
当$x=0$时，分母$|x|=0$，被开方数的分式无意义，因此该式子不是一定有意义；
综上，一定有意义的式子是②和③，共2个。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质
【点评】
本题重点考查对“二次根式一定有意义”的理解，需注意：“一定有意义”要求式子在变量的所有允许取值下都满足有意义的条件，不能仅考虑部分情况。解题时需仔细分析每个式子，尤其是含变量的式子，要考虑变量的所有可能取值，避免遗漏特殊情况（如$x=0$的情况）。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断一个二次根式是否为最简二次根式，需依据最简二次根式的两个核心标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以逐个选项对照这两个条件分析：
1. 选项A：被开方数是$x^2$，$x^2$是能开得尽方的因式，不符合条件②，不是最简二次根式；
2. 选项B：被开方数是分数$\dfrac{1}{5}$，不符合条件①，不是最简二次根式；
3. 选项C：被开方数$0.5$可转化为$\dfrac{1}{2}$，属于分数，不符合条件①，不是最简二次根式；
4. 选项D：被开方数$x^2+y^2$既不含分母，也无法分解出能开得尽方的因式，同时满足两个条件，是最简二次根式。
【解析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{x^{2}} = |x|$，被开方数含能开得尽方的因式$x^2$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{0.5} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为分数，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$的被开方数$x^2+y^2$不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，判断时需对每个选项逐一验证，尤其注意被开方数含分数、小数的情况，以及被开方数中是否存在能开尽方的因式或因数。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题考查二次根式的基本性质、算术平方根与平方根的概念，解题思路是根据相关定义和性质逐一分析每个选项的正误：
1. 回忆二次根式的核心性质：算术平方根的结果为非负数；二次根式的被开方数必须是非负数；$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；
2. 对每个选项分别计算或判断，排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，算术平方根的结果是非负数，不能为$-2$，故A错误；
选项B：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，一个正数的平方根有两个，即$\pm\sqrt{9}=\pm3$，而非仅等于3，故B错误；
选项C：二次根式的被开方数必须是非负数，$-5＜0$，因此$\sqrt{-5}$无意义，该式子不成立，故C错误；
选项D：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，算术平方根为非负的平方根，$\sqrt{16}=4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根与平方根的区别
【点评】
本题属于二次根式的基础概念题，重点考查对算术平方根、平方根定义及二次根式基本性质的理解，需准确区分算术平方根（单值非负）与平方根（双值正负）的差异，牢记被开方数的非负性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断每个选项的运算是否正确，需依据二次根式的运算法则、同类二次根式的合并规则以及乘法公式来逐一分析：
1. 对于选项A，运用乘法分配律展开计算，对比结果是否正确；
2. 选项B先调整符号，转化为完全平方的形式再计算，注意符号变化；
3. 选项C需判断是否为同类二次根式，只有同类二次根式才能合并；
4. 选项D先将$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，验证结果。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：根据乘法分配律展开，$\sqrt{2} × (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×1 = 2 + \sqrt{2}$，$2+\sqrt{2}≠4$，故A错误；
选项B：先变形符号，$(2 - \sqrt{5}) × (\sqrt{5} - 2) = -(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2) = -(\sqrt{5}-2)^2$，根据完全平方公式展开得：$-(5 - 4\sqrt{5} + 4) = -9 + 4\sqrt{5}$，$-9+4\sqrt{5}≠1$，故B错误；
选项C：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式（被开方数不同），不能直接合并，故C错误；
选项D：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的混合运算、同类二次根式合并、乘法公式应用
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，重点在于掌握二次根式的乘法法则、同类二次根式的合并条件，以及运算中的符号处理，需仔细计算每个选项，避免因粗心或概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
【分析】
要使等式成立，需保证等式左右两边的所有二次根式都有意义，同时符合二次根式乘法法则的适用条件。具体思考步骤如下：
1. 二次根式的被开方数必须是非负数，因此先分析左边每个根式的定义域：$\sqrt{x+1}$要求$x+1≥0$，$\sqrt{x-1}$要求$x-1≥0$；
2. 再分析右边根式$\sqrt{x^2-1}$的定义域，其被开方数$x^2-1≥0$；
3. 由于等式左边的两个根式需同时有意义，需取左边两个条件的交集，再验证此时等式是否成立，最终确定等式成立的条件。
【解析】
要使等式 $\sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立，需满足各二次根式的被开方数非负，且符合二次根式乘法法则的适用条件：
1. 对于 $\sqrt{x+1}$，被开方数需非负，即：
$x + 1 ≥ 0$，解得 $x ≥ -1$；
2. 对于 $\sqrt{x-1}$，被开方数需非负，即：
$x - 1 ≥ 0$，解得 $x ≥ 1$；
3. 对于 $\sqrt{x^2 - 1}$，被开方数需非负，即：
$x^2 - 1 ≥ 0$，因式分解得 $(x+1)(x-1) ≥ 0$，解得 $x ≥ 1$ 或 $x ≤ -1$。
由于等式左边的两个二次根式需同时有意义，因此取 $x ≥ -1$ 和 $x ≥ 1$ 的交集，即 $x ≥ 1$。此时右边的二次根式也满足有意义的条件，且根据二次根式乘法法则 $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），左边 $\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}=\sqrt{(x+1)(x-1)}=\sqrt{x^2 -1}$，与右边相等，等式成立。因此等式成立的条件是 $x ≥ 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的乘法法则
【点评】
本题主要考查二次根式的性质，易错点是仅考虑右边根式的定义域，忽略左边两个根式需同时有意义而误选D。解题时需明确：多个二次根式同时出现时，每个根式的被开方数都要满足非负性，再结合运算法则验证等式是否成立。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，我们可以按照以下思路推导：首先，已知正方形的面积，根据正方形面积公式可求出其边长；其次，由于长方形长增加$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$、宽增加$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$后变为正方形，因此用正方形边长分别减去增加的长度，就能得到原长方形的长和宽；最后，利用长方形面积公式计算原面积，即可得出答案。
【解析】
1. 求正方形的边长：
设正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，由正方形面积公式$S=a^2$，已知面积为$128\ \mathrm{cm}^2$，则：
$a^2=128$，解得$a=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正数，舍去负值）。
2. 求原长方形的长和宽：
原长方形的长为：$8\sqrt{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的宽为：$8\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 计算原长方形的面积：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S=5\sqrt{2}×2\sqrt{2}=5×2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=10×2=20\ \mathrm{cm}^2$。
因此原长方形纸片的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，长方形与正方形面积公式
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与乘法运算，以及长方形、正方形面积公式的实际应用。解题的关键是通过正方形面积求出边长，进而推导出原长方形的长和宽，计算过程中需注意二次根式的运算规则，确保结果准确。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，需结合同类最简二次根式的定义和二次根式有意义的条件来思考：
1. 同类最简二次根式的核心是“被开方数相同”，题目已明确两个根式都是最简二次根式，因此首先可根据被开方数相等列出方程；
2. 同时，二次根式有意义的前提是被开方数非负，所以还需验证方程的解是否满足两个被开方数均为非负数，确保根式有意义，最终确定符合条件的x值。
【解析】
根据同类最简二次根式的定义，同类最简二次根式的被开方数相同，且二次根式有意义的条件是被开方数≥0，因此：
1. 列方程：
因为$\sqrt{2x - 5}$与$x\sqrt{15 - 3x}$是同类最简二次根式，所以被开方数相等，即：
$2x - 5 = 15 - 3x$
移项合并同类项得：
$5x = 20$
解得：$x = 4$
2. 验证根式有意义：
当$x=4$时，$\sqrt{2x - 5}$的被开方数$2×4 - 5 = 3 ≥ 0$，根式有意义；
$\sqrt{15 - 3x}$的被开方数$15 - 3×4 = 3 ≥ 0$，根式有意义；
且$x=4$作为系数不影响二次根式的定义，因此$x=4$是符合条件的解。
【答案】
4
【知识点】
同类二次根式定义，二次根式有意义的条件，一元一次方程求解
【点评】
本题考查同类二次根式的综合应用，解题关键是既要利用同类二次根式的定义列方程，又要牢记二次根式有意义的条件，对解进行验证，避免因忽略根式有意义的前提而得到错误结果。
【难度系数】
0.6
【分析】
要比较两个负数的大小，需遵循“绝对值大的负数反而小”的规则。首先求出两个数的绝对值，即$3\sqrt{2}$和$2\sqrt{3}$；由于这两个正数都是带根号的形式，可通过平方的方法比较它们的大小（正数平方后，平方值大的原数更大），再根据负数比较大小的规则得出最终结果。
【解析】
1. 计算两个数的绝对值：
$|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$，$|-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$
2. 对两个绝对值进行平方运算：
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 × (\sqrt{2})^2 = 9 × 2 = 18$
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4 × 3 = 12$
3. 比较平方后的结果：
因为$18 ＞ 12$，且$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{3}$均为正数，所以$3\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$
4. 根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，可得：
$-3\sqrt{2} ＜ -2\sqrt{3}$
【答案】
＜
【知识点】
负数比较大小，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题主要考查负数与二次根式的大小比较，核心是掌握“负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，以及利用平方法比较带根号正数的大小，属于基础题型，注重对实数基本比较方法的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题考查二次根式的化简，需根据二次根式的性质，结合不同情况逐步处理：
1. 对于(1)，先将小数化为分数，再约分，最后利用二次根式的商的算术平方根性质化简；
2. 对于(2)，先将被开方数分解为含平方数的形式，再利用二次根式的积的算术平方根性质，结合$n＞0$的条件开方化简；
3. 对于(3)，先将根号内的多项式配方为完全平方形式，再根据二次根式的性质转化为绝对值，最后结合$x$的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{0.84}$：
首先将小数化为分数：$0.84=\frac{84}{100}$，
约分可得：$\frac{84}{100}=\frac{21}{25}$，
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），则：
$\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$。
(2) 化简$\sqrt{50mn^{2}}$（$n＞0$）：
将被开方数分解因式：$50mn^2=25×2× m× n^2=5^2× n^2×2m$，
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）及$\sqrt{a^2}=a$（$a≥0$），则：
$\sqrt{50mn^2}=\sqrt{5^2× n^2×2m}=\sqrt{5^2}·\sqrt{n^2}·\sqrt{2m}$，
因为$n＞0$，所以$\sqrt{n^2}=n$，代入得：
$5× n×\sqrt{2m}=5n\sqrt{2m}$。
(3) 化简$\sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 4x + 4}$（$1 ＜ x ＜ 2$）：
先对根号内的式子配方：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，
则原式转化为：$\sqrt{(x-1)^2}-\sqrt{(x-2)^2}$，
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$|x-1|-|x-2|$，
因为$1＜x＜2$，所以$x-1＞0$，$x-2＜0$，
去掉绝对值符号：$x-1-(2-x)$，
去括号合并同类项：$x-1-2+x=2x-3$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{21}}{5}$；(2) $5n\sqrt{2m}$；(3) $2x - 3$
【知识点】
二次根式的化简；完全平方公式；绝对值的性质
【点评】
本题涵盖了二次根式化简的多种常见类型，包括小数型、含字母型、结合绝对值的化简，需要熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式以及绝对值的取值判断，解题时需注意字母的取值范围对化简结果的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，我们的思路是利用题目给出的斐波那契数列第$n$个数的表达式，分别将$n=1$和$n=2$代入表达式，通过二次根式的运算化简得出结果。具体来说，先明确代入的目标，再逐步计算表达式中每一部分的值，最后合并化简得到答案。
【解析】
1. 计算第1个数（$n=1$时）：
将$n=1$代入表达式$a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}[(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}]$，得：
$\begin{aligned}a_{1}&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}[(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})^{1} - (\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})^{1}]\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}[\dfrac{1 + \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{2}]\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}×\dfrac{2\sqrt{5}}{2}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
2. 计算第2个数（$n=2$时）：
将$n=2$代入表达式，得：
$\begin{aligned}a_{2}&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}[(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2} - (\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})^{2}]\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}[\dfrac{(1 + \sqrt{5})^2 - (1 - \sqrt{5})^2}{4}]\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}×\dfrac{(1+2\sqrt{5}+5)-(1-2\sqrt{5}+5)}{4}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}×\dfrac{4\sqrt{5}}{4}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1，1
【知识点】
代数式求值，二次根式的运算
【点评】
本题考查对新定义数列的理解及二次根式的运算能力，解题关键是准确将$n$的值代入给定公式，通过逐步化简计算得出结果，题目难度较低，注重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.9
(1)解：原式​$=-15×\sqrt {\frac 8{27}×\frac {5}{4}×54}$​
​$=-15×2\sqrt {5}$​
​$=-30\sqrt {5}$​
(2)解：原式​$=\sqrt {5ab×\frac {b}{125a}}$​
​$=\frac {b}{5}$​
(3)解：原式​$=3\sqrt {2}-4\sqrt {2}+2\sqrt {2}$​
​$=\sqrt {2}$​
(4)解：原式​$=3\sqrt {x}+\sqrt {x}-5\sqrt {x}$​
​$=-\sqrt {x}$​
(5)解：原式​$=3\sqrt {2}+18-2\sqrt {2}$​
​$=18+\sqrt {2}$​
(6)解：原式​$=3+2-2\sqrt {6}-5$​
​$=-2\sqrt {6}$​
(7)解：原式​$=\frac {1}{5+4+4\sqrt {5}}$​
​$=\frac {1}{9+4\sqrt {5}}$​
​$=9-4\sqrt {5}$​
(8)解：原式​$=\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+2-(\frac {b}{a}+\frac {a}{b}-2)$​
​$=4$​
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