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B
C
B
C
$2\sqrt{2}-2$
15
【分析】
本题考查平行四边形的性质，需结合平行四边形的边、角、对角线的特征，逐一分析每个选项的正误：
1. 对于选项A，只有菱形、正方形这类特殊平行四边形的对角线才垂直，普通平行四边形对角线不垂直，可判断A错误；
2. 对于选项B，平行四边形的对边平行，$∠ DAB$与$∠ ABC$是同旁内角，根据平行线的性质，同旁内角互补，可判断该结论正确；
3. 对于选项C，平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，只有菱形、正方形的邻边才相等，可判断C错误；
4. 对于选项D，平行四边形的对角相等，故$∠ A=∠ C$，可判断D错误。
【解析】
根据平行四边形的性质，对各选项逐一分析：
选项A：平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直，仅特殊平行四边形（菱形、正方形）的对角线垂直，因此该结论不一定正确；
选项B：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ DAB+∠ ABC=180°$，该结论一定正确；
选项C：平行四边形的对边相等，即$AB=CD$，$AD=BC$，但邻边$AB$和$AD$不一定相等，仅特殊平行四边形（菱形、正方形）的邻边相等，因此该结论不一定正确；
选项D：平行四边形的对角相等，所以$∠ A=∠ C$，该结论错误。
综上，正确答案是B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质；邻角互补；对角相等
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形的基本性质，需注意区分普通平行四边形与特殊平行四边形（菱形、正方形）的性质差异，通过排除法可快速锁定正确选项。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，我们可以从“中点四边形”的判定思路入手：
1. 首先回忆：顺次连接四边形各边中点得到的四边形（中点四边形），其形状由原四边形的对角线特征决定；
2. 矩形的核心性质是对角线相等，我们可以通过连接矩形的对角线，结合三角形中位线定理分析中点四边形的边长关系；
3. 设矩形各边中点，利用三角形中位线定理可得，中点四边形的各边均等于矩形对角线的一半，而矩形对角线相等，因此中点四边形的四条边都相等，根据菱形的判定规则，可确定该四边形为菱形。
【解析】
设矩形为$ABCD$，$E、F、G、H$分别是$AB、BC、CD、DA$的中点，连接对角线$AC、BD$。
1. 由矩形的性质可知：矩形的对角线相等，即$AC=BD$；
2. 根据三角形中位线定理：
$EF$是$△ ABC$的中位线，故$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$；
$GH$是$△ ADC$的中位线，故$GH// AC$，且$GH=\frac{1}{2}AC$；
$EH$是$△ ABD$的中位线，故$EH// BD$，且$EH=\frac{1}{2}BD$；
$FG$是$△ BCD$的中位线，故$FG// BD$，且$FG=\frac{1}{2}BD$；
3. 由$EF// GH$且$EF=GH$，可知四边形$EFGH$是平行四边形；
4. 又因为$AC=BD$，所以$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，即平行四边形$EFGH$的一组邻边相等，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形$EFGH$是菱形。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的性质；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与判定，核心是利用“中点四边形的形状由原四边形对角线决定”这一规律，结合矩形对角线相等的性质和三角形中位线定理推导结论，需要熟练掌握特殊四边形的性质定理与判定定理，是基础几何题型。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线平分内角。已知$∠ BAD=120°$，可推出$∠ BAC=60°$，结合菱形中$AB=BC$，能判定$△ ABC$是等边三角形；再根据$△ ABC$的周长求出其边长，也就是菱形的边长，最后计算菱形的周长即可。
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质可得：$AB=BC=CD=AD$，且$AC$平分$∠ BAD$。
2. 已知$∠ BAD=120°$，所以$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 又因为$AB=BC$，且$∠ BAC=60°$，根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△ ABC$是等边三角形。
4. 因为$△ ABC$的周长是$15$，所以等边三角形的边长$AB=15÷3=5$。
5. 菱形$ABCD$的周长为$4× AB=4×5=20$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合菱形和等边三角形的性质进行求解，关键是利用菱形的内角平分线和边的关系判定出等边三角形，进而求出菱形的边长，属于基础几何题，需要熟练掌握特殊四边形和特殊三角形的性质。
【难度系数】
0.7
【分析】
要判断平行四边形$EFGH$的面积变化情况，可通过分析它与矩形$ABCD$的面积关系推导：
1. 先设矩形边长，用字母表示未知量，便于计算；
2. 利用矩形和平行四边形的性质，证明周边三角形全等，得到面积关系；
3. 通过矩形面积减去四个三角形的面积和，得出平行四边形的面积，判断其是否为定值。
【解析】
设矩形$ABCD$中，$AB=2a$，$BC=b$，因为$E$是$AB$中点，所以$AE=EB=a$。设$BF=x$（$0≤ x≤ b$）。
1. 由矩形性质得$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，由平行四边形$EFGH$的性质得$EH// FG$，$EF// HG$，因此$∠ AEH+∠ BEF=90°$，又$∠ BEF+∠ BFE=90°$，故$∠ AEH=∠ BFE$。
2. 在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases} ∠ A=∠ B\\ ∠ AEH=∠ BFE\\ AE=EB \end{cases}$
所以$△ AEH≌△ BFE$（AAS），则$S_{△ AEH}=S_{△ BFE}$。
3. 同理可证$△ HGD≌△ FGC$，则$S_{△ HGD}=S_{△ FGC}$。
4. 矩形$ABCD$的面积$S_{ABCD}=AB× BC=2a× b=2ab$。
5. 四个三角形的面积和为$2(S_{△ AEH}+S_{△ BFE})=2×(\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}a(b-x))=ab$。
6. 因此平行四边形$EFGH$的面积$S_{□ EFGH}=S_{ABCD}-(S_{△ AEH}+S_{△ BFE}+S_{△ FGC}+S_{△ DGH})=2ab - ab=ab$，为定值，即面积不变。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过设参数结合全等三角形的性质，将平行四边形的面积转化为矩形面积与三角形面积的差，判断面积变化情况，考查了特殊四边形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先利用矩形的性质得到$AD// BC$、$∠ A=∠ D=90°$、$AB=CD=2$；接着根据角平分线和平行线的性质，推出$△ ABE$是等腰直角三角形，求出$AE$和$BE$的长度；再结合$EC$平分$∠ BED$和平行线的性质，得到$BE=BC$，进而求出$AD$的长度；最后用$AD$减去$AE$即可得到$DE$的长。
【解析】
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ A=∠ D=90°$，$AB=CD=2$。
∵$BE$平分$∠ ABC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE=∠ EBC=45°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ EBC=45°$，
∴$∠ ABE=∠ AEB$，
∴$AE=AB=2$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵$EC$平分$∠ BED$，
∴$∠ BEC=∠ DEC$。
又
∵$AD// BC$，
∴$∠ DEC=∠ ECB$，
∴$∠ BEC=∠ ECB$，
∴$BC=BE=2\sqrt{2}$。
∵矩形中$AD=BC=2\sqrt{2}$，
∴$DE=AD-AE=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是通过平行线与角平分线的性质转化角的关系，得到等腰三角形，从而建立线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合菱形和垂直平分线的性质推导角度：首先利用垂直平分线的性质得到AF=BF，进而得到∠FAB=∠FBA；再根据菱形的对角相等、邻角互补、对角线平分内角的性质，求出相关内角的度数；接着通过SAS证明△ABF≌△ADF，将∠FBA转化为∠FDA；最后用∠ADC减去∠FDA，即可得到∠CDF的度数。
【解析】
连接BF。
1. 因为EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得：
$ AF = BF $，所以$ ∠ FAB = ∠ FBA $。
2. 已知四边形ABCD是菱形，$ ∠ BCD = 110° $，根据菱形的性质：
对角相等，故$ ∠ BAD = ∠ BCD = 110° $；
邻角互补，故$ ∠ ADC = 180° - ∠ BCD = 180° - 110° = 70° $；
对角线平分内角，故$ ∠ BAC = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2} × 110° = 55° $。
3. 由$ ∠ FAB = 55° $，得$ ∠ FBA = 55° $。
在$ △ ABF $和$ △ ADF $中：
$ AB = AD $（菱形的边相等），
$ ∠ BAC = ∠ DAC $，
$ AF = AF $（公共边），
所以$ △ ABF ≌ △ ADF $（SAS）。
4. 由全等三角形的对应角相等，得$ ∠ FDA = ∠ FBA = 55° $。
5. 因此$ ∠ CDF = ∠ ADC - ∠ FDA = 70° - 55° = 15° $。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了菱形、垂直平分线及全等三角形的相关知识，解题的关键是通过添加辅助线BF，构建全等三角形实现角度的转化，需要学生熟练掌握几何图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5
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