【分析】
本题属于工程问题，解题核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系，通过设未知数将题目中的倍数关系转化为代数式，再进行分式化简求和。具体思路如下：
1. 设工作总量为1，甲、乙、丙的工作效率分别为$x$、$y$、$z$，则三人单独完成工作的天数分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$，合作完成的天数可由合作效率推导；
2. 根据题目中单独完成天数与合作完成天数的倍数关系，分别推导出$m$、$n$、$k$关于$x$、$y$、$z$的表达式；
3. 将$\frac{m}{m+1}$、$\frac{n}{n+1}$、$\frac{k}{k+1}$用$x$、$y$、$z$表示并化简，最后相加得到结果。
【解析】
设工作总量为1，甲、乙、丙的工作效率分别为$x$、$y$、$z$。
1. 由题意，甲单独完成天数为乙、丙合作完成天数的$m$倍：
甲单独完成天数为$\frac{1}{x}$，乙、丙合作完成天数为$\frac{1}{y+z}$，则$\frac{1}{x} = m · \frac{1}{y+z}$，
整理得$m = \frac{y+z}{x}$。
对$\frac{m}{m+1}$化简：
$\frac{m}{m+1} = \frac{\frac{y+z}{x}}{\frac{y+z}{x} + 1} = \frac{y+z}{x + y + z}$（分子分母同乘$x$，约分后得到）。
2. 同理，乙单独完成天数为甲、丙合作完成天数的$n$倍：
$\frac{1}{y} = n · \frac{1}{x+z}$，整理得$n = \frac{x+z}{y}$，
则$\frac{n}{n+1} = \frac{\frac{x+z}{y}}{\frac{x+z}{y} + 1} = \frac{x+z}{x + y + z}$。
3. 丙单独完成天数为甲、乙合作完成天数的$k$倍：
$\frac{1}{z} = k · \frac{1}{x+y}$，整理得$k = \frac{x+y}{z}$，
则$\frac{k}{k+1} = \frac{\frac{x+y}{z}}{\frac{x+y}{z} + 1} = \frac{x+y}{x + y + z}$。
4. 将三个分式相加：
$\frac{m}{m+1} + \frac{n}{n+1} + \frac{k}{k+1} = \frac{y+z}{x+y+z} + \frac{x+z}{x+y+z} + \frac{x+y}{x+y+z}$
$= \frac{(y+z) + (x+z) + (x+y)}{x+y+z}$
$= \frac{2(x+y+z)}{x+y+z} = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
工程问题（效率与时间）、分式化简、代数式求值
【点评】
本题考查工程问题的核心公式应用及分式运算，通过设工作效率将时间的倍数关系转化为分式形式，再利用通分、约分等分式运算技巧化简求和，需要学生熟练掌握工程问题中时间与效率的转化关系，以及分式的基本运算方法。
【难度系数】
0.4
