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第32页

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解：$(1)(x-2y)^2=(x+2y)^2-8xy$

$ $因为$x+2y=2，xy=-1，$

$ $所以原式$=2^2-8×(-1)=4+8=12$

$(2)x^4+16y^4=(x^2+4y^2)^2-8(\mathrm {xy})^2$

$ =[(x+2y)^2-4xy]^2-8(\mathrm {xy})^2$

$ $因为$x+2y=2，xy=-1，$

$ $所以原式$=[2^2-4×(-1)]^2-8×(-1)^2$

$ =(4+4)^2-8$

$ =64-8=56$

证明：$(2)$设偶数为$2n(n$为整数$)，$

比$2n{大}3$的数为$2n+3，$

$ $则$(2n+3)^2-(2n)^2$

$=(2n+3+2n)(2n+3-2n)$

$ =(4n+3)×3$

$=3(4n+3)$

$ $因为$4n+3$是整数，

所以$3(4n+3)$能被$3$整除，

$ $即比$2n{大}3$的数与$2n$的平方差能被$3$整除。

$ (3)$设整数为$n，$比$n{大}3$的数为$n+3，$

$ $则$(n+3)^2-n^2$

$=(n+3+n)(n+3-n)$

$=(2n+3)×3$

$=6n+9$

$=6(n+1)+3$

$ $因为$6(n+1)$能被$6$整除，

所以$6(n+1)+3$被$6$除的余数是$3。$

$ D$

$x^{6}-1$

$x^{n+1}-1$

解$：(3) ①3^{100}+3^{99}+\dots +3^2+3+1$

$ =\frac {1}{2}×(3-1)(3^{100}+3^{99}+\dots +3^2+3+1)$

$ =\frac {3^{101}-1}{2}$

$ ②(-2)^{2025}+(-2)^{2024}+\dots +(-2)+1$

$ =\frac {1}{-2-1}×[(-2-1)×((-2)^{2025}+(-2)^{2024}+\dots +(-2)+1)]$

$ =\frac {(-2)^{2026}-1}{-3}$

$ =\frac {2^{2026}-1}{-3}$

$ =\frac {1-2^{2026}}{3}$

$ ③2^{100}+2^{99}+\dots +2^3+2^2+2$

$ =(2^{100}+2^{99}+\dots +2+1)-1$

$ =(2^{101}-1)-1$

$ =2^{101}-2$