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解：​$(1)$​
$\begin{aligned}(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b+4a)·(-2b)&=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab\\&=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8(ab)\end{aligned}$
将$ab=3$代入得：
$\begin{aligned}&-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3\\=&-4×27+6×9-24\\=&-108+54-24\\=&-78\end{aligned}$
​$ (2) $​
$\begin{aligned}2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y-4x)&=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y\\&=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8(x^{2}y)\end{aligned}$
将$x^{2}y=2$代入得：
$\begin{aligned}&2×2^{3}-6×2^{2}-8×2\\=&2×8-6×4-16\\=&16-24-16\\=&-24\end{aligned}$
解​$： (1) ① $​
设$223=x，$则
$\begin{aligned}原式&=x^{2}-(x+1)(x-1)\\&=x^{2}-(x^{2}-1)\\&=x^{2}-x^{2}+1\\&=1\end{aligned}$
②
设$3.456=a，$
则$2.456=a-1，$$5.456=a+2，$$1.456=a-2，$
$\begin{aligned}原式&=a(a-1)(a+2)-a^{3}-(a-2)^{2}\\&=a(a^{2}+a-2)-a^{3}-(a^{2}-4a+4)\\&=a^{3}+a^{2}-2a-a^{3}-a^{2}+4a-4\\&=2a-4\end{aligned}$
将$a=3.456$代入得：
$\begin{aligned}2a-4&=2×3.456-4\\&=6.912-4\\&=2.912\end{aligned}$
​$ (2) $​
设$123456788=x，$$123456786=y，$
则$M=(x+1)y，$$N=x(y+1)$
$\begin{aligned}M-N&=(x+1)y-x(y+1)\\&=xy+y-xy-x\\&=y-x\end{aligned}$
因为$y-x=123456786-123456788=-2＜0，$
所以$M＜N$
解: 解法一：
令$\frac{3}{8}x-18=m，$
则$a=m-2，$$b=m，$$c=m+2$
$\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc\\=&(m-2)^{2}+m^{2}+(m+2)^{2}-m(m-2)-(m-2)(m+2)-m(m+2)\\=&m^{2}-4m+4+m^{2}+m^{2}+4m+4-m^{2}+2m-(m^{2}-4)-m^{2}-2m\\=&3m^{2}+8-2m^{2}+4\\=&12\end{aligned}$
解法二：
由题意得$a-b=-2，$$b-c=-2，$$c-a=4$
$\begin{aligned}(a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}=4\\(b-c)^{2}&=b^{2}-2bc+c^{2}=4\\(c-a)^{2}&=c^{2}-2ca+a^{2}=16\end{aligned}$
三式相加得：
$\begin{aligned}2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)&=4+4+16=24\\a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca&=12\end{aligned}$
解：
因为$a-b=1，$$b-c=-3，$
所以$a-c=(a-b)+(b-c)=1+(-3)=-2$
$\begin{aligned}&2(b-a)^{2}-3(b-c)^{2}+4(a-c)^{2}\\=&2(a-b)^{2}-3(b-c)^{2}+4(a-c)^{2}\\=&2×1^{2}-3×(-3)^{2}+4×(-2)^{2}\\=&2×1-3×9+4×4\\=&2-27+16\\=&-9\end{aligned}$
解：
因为$a-b=b-c=\frac{3}{5}，$
所以$a-c=(a-b)+(b-c)=\frac{3}{5}+\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$
$\begin{aligned}(a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}=(\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{25}\\(b-c)^{2}&=b^{2}-2bc+c^{2}=(\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{25}\\(a-c)^{2}&=a^{2}-2ac+c^{2}=(\frac{6}{5})^{2}=\frac{36}{25}\end{aligned}$
三式相加得：
$\begin{aligned}2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ac)&=\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{54}{25}\end{aligned}$
已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1，$代入得：
$\begin{aligned}2×1-2(ab+bc+ac)&=\frac{54}{25}\\2(ab+bc+ac)&=2-\frac{54}{25}=-\frac{4}{25}\\ab+bc+ac&=-\frac{2}{25}\end{aligned}$
解：
因为$a+b+c=0，$
所以$(a+b+c)^{2}=0，$即
$\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)&=0\end{aligned}$
已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4，$代入得：
$\begin{aligned}4+2(ab+bc+ac)&=0\\ab+bc+ac&=-2\end{aligned}$
又因为$(ab+bc+ac)^{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)，$且$a+b+c=0，$
所以
$\begin{aligned}a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}&=(ab+bc+ac)^{2}=(-2)^{2}=4\end{aligned}$
则
$\begin{aligned}a^{4}+b^{4}+c^{4}&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\\&=4^{2}-2×4\\&=16-8\\&=8\end{aligned}$
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