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B
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菱形
​$ (1) $​证明：∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ DMO=∠ BNO。$​
∵​$MN$​是对角线​$BD$​的垂直平分线，
∴​$OD=OB，$​​$MN⊥ BD。$​
​$ $​在​$△ MOD$​和​$△ NOB$​中，
​$ \begin {cases}∠ DMO=∠ BNO， \\∠ MOD=∠ NOB， \\OD=OB，\end {cases}$​
∴​$△ MOD ≌ △ NOB(\mathrm {AAS})，$​
∴​$OM=ON。$​
∵​$OD=OB，$​
∴四边形​$BNDM$​是平行四边形。
∵​$MN⊥ BD，$​
∴四边形​$BNDM$​是菱形。
​$ (2) $​解：∵四边形​$BNDM$​是菱形，​$BD=24，$​​$MN=10，$​
∴​$BM=BN=DM=DN，$​​$OB=\frac {1}{2}BD=12，$​​$OM=\frac {1}{2}MN=5。$​
∵​$MN⊥ BD，$​
∴​$∠ BOM=90°。$​
​$ $​在​$Rt△ BOM$​中，由勾股定理，得
​$ BM=\sqrt {OM^2+OB^2}=\sqrt {5^2+12^2}=13。$​
∴菱形​$BNDM$​的周长​$=4BM=4×13=52。$​
​$ (1) $​证明：∵四边形​$ABCD$​和四边形​$AFCE$​是矩形，
∴​$∠ B=∠ F=90°，$​​$AD// BC，$​​$AF// CE，$​
∴四边形​$AGCH$​是平行四边形。
∵​$S_{四边形AGCH}=GC· AB=AG· CF，$​​$AB=CF=4，$​
∴​$GC=AG，$​∴四边形​$AGCH$​是菱形。
​$ (2) $​解：由​$(1)$​可知，​$GC=AG。$​
设​$GC=AG=x，$​则​$BG=8-x。$​
∵在矩形​$ABCD$​中，​$∠ B=90°，$​​$AB=4，$​
∴在​$Rt△ ABG_{中}，$​由勾股定理，得
​$ 4^2+(8-x)^2=x^2，$​
​$ $​解得​$x=5，$​
∴​$GC=5，$​
∴​$S_{菱形AGCH}=GC· AB=5×4=20。$​
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