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$18°$
5
$\frac{5}{2}$
解：∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$∠ BCD=90°，$​​$BC=DC，$​​$BO=DO。$​
∵在​$Rt△ DCE$​中，​$F $​为​$DE$​的中点，
∴​$CF=EF=DF=\frac {1}{2}DE。$​
∵​$CE=7，$​​$△ CEF $​的周长为​$32，$​
∴​$DE=25，$​
∴在​$Rt△ DCE$​中，​$DC=\sqrt {DE^2-CE^2}=\sqrt {25^2-7^2}=24，$​
∴​$BE=BC-CE=DC-CE=24-7=17。$​
∵​$BO=DO，$​​$F $​为​$DE$​的中点，
∴​$OF $​是​$△ DBE$​的中位线，
∴​$OF=\frac {1}{2}BE=\frac {17}{2}$​
​$ (1) $​证明：∵​$BD，CE$​是​$△ ABC$​的中线，
∴​$D，E$​分别是​$AC，AB$​的中点，
∴​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线，
∴​$DE// BC，$​​$DE=\frac {1}{2}BC。$​
同理，可得​$FG// BC，$​​$FG=\frac {1}{2}BC。$​
∴​$DE// FG，$​​$DE=FG，$​
∴四边形​$DEFG $​是平行四边形。
​$ (2) $​证明：由​$ (1)$​知，四边形​$DEFG $​是平行四边形，
∴​$OF=OD。$​
又∵​$F $​是​$OB$​的中点，
∴​$BF=OF，$​
∴​$DF=\frac {2}{3}BD。$​
同理，可得​$EG=\frac {2}{3}CE。$​
∵​$BD=CE，$​
∴​$DF=EG。$​
∵四边形​$DEFG $​是平行四边形，
∴四边形​$DEFG $​是矩形。
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