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证明：$ (1) $如图，过点$C$作$CE// AD$交$AB$于点$E.$

∵$AB// DC， CE// AD，$

∴四边形$ADCE$是平行四边形，

∴$AD=CE.$

∵$AD// CE，$

∴$∠ A=∠ CEB.$

∵$∠ A=∠ B，$

∴$∠ CEB=∠ B，$

∴$CE=CB，$

∴$AD=BC.$

$ (2) $如图，过点$C$作$CE// AD，$交$AB$于点$E.$

∵$AB// DC，$

∴四边形$ADCE$是平行四边形，

∴$AD=CE.$

∵$AD=BC，$

∴$CE=CB，$

∴$∠ CEB=∠ B.$

∵$AD// CE，$

∴$∠ A=∠ CEB，$

∴$∠ A=∠ B.$

已知：如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC，$对角线$AC=BD.$

求证：$AB=DC.$

证明：过点$D$作$DE// AC，$交$BC$的延长线于点$E.$

∵$AD// BC，$即$AD// CE，$$DE// AC，$

∴四边形$ACED$是平行四边形，

∴$AC=DE.$

∵$AC=BD，$

∴$BD=DE，$

∴$∠ DBC=∠ E.$

∵$DE// AC，$

∴$∠ ACB=∠ E，$

∴$∠ ACB=∠ DBC.$

$ $在$△ ABC$和$△ DCB$中，

$ \begin {cases}AC=DB， \\∠ ACB=∠ DBC， \\BC=CB，\end {cases}$

∴$△ ABC≌△ DCB(\mathrm {SAS})，$

∴$AB=DC.$