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$\frac{11}{2}$或$\frac{1}{2}$
解：选择甲的想法，证明如下：
​$ $​连接​$AE.$​
∵​$E$​是​$BC$​的中点，
∴​$CE=BE=\frac {1}{2}BC.$​
∵​$AD=\frac {1}{2}BC，$​
∴​$AD=CE.$​
∵​$AD// BC，$​
∴四边形​$ADCE$​是平行四边形​$.$​
∵​$AD=DC，$​
∴四边形​$ADCE$​是菱形​$.$​

D
13
解：
​$ (1) $​如图，过点​$M$​作​$ME⊥ x$​轴于点​$E，$​则​$∠ PEM=90°.$​
∴​$∠ 1+∠ 2=90°.$​
∵​$PM⊥ CP，$​∴​$∠ CPM=90°，$​
∴​$∠ 1+∠ 3=90°，$​
∴​$∠ 2=∠ 3.$​
∵四边形​$OABC$​是边长为​$4$​的正方形，
∴​$OC=4，$​​$∠ COP=90°，$​
∴​$∠ PEM=∠ COP.$​
又∵​$PM=CP，$​
∴​$△ MPE≌△ PCO，$​
∴​$EM=OP=t，$​​$EP=OC=4，$​
∴​$OE=t+4，$​
∴点​$M$​的坐标为​$(t+4，t).$​
​$ (2) $​线段​$MN$​的长度不发生改变，理由如下：
​$ $​连接​$AM，$​设​$MN$​交​$AB$​于点​$F.$​
∵四边形​$OABC$​是边长为​$4$​的正方形，
∴​$∠ BAO=90°，$​​$OA=OC=AB=4，$​即​$AB⊥ x$​轴，
∴​$∠ BOA=45°.$​
∵​$ME⊥ x$​轴，
∴​$ME// AB.$​
∵​$MN// OA，$​
∴四边形​$AEMF $​为平行四边形​$.$​
又∵​$∠ MEA=90°，$​
∴四边形​$AEMF $​是矩形​$.$​
​$ $​由​$(1)$​得​$OP=EM，$​​$OC=EP，$​
∴​$OA=EP，$​
∴​$OA-PA=EP-PA，$​即​$OP=AE，$​
∴​$EM=AE，$​
∴矩形​$AEMF $​是正方形，​$∠ MAE=45°，$​
∴​$∠ MAE=∠ BOA，$​
∴​$AM// OB.$​
又∵​$MN// OA，$​
∴四边形​$OAMN$​是平行四边形，
∴​$MN=OA=4，$​即线段​$MN$​的长度不发生改变​$.$​
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