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C
3.5
①③④
$(-1.5,5)$
​$ (1) $​证明：如图，设​$EC$​交​$DF $​于点​$K.$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=BC=CD，$​​$∠ B=∠ DCF=90°.$​
∵​$E，$​​$F_{分别是}AB，$​​$BC$​的中点，
∴​$BE=\frac {1}{2}AB，$​​$CF=\frac {1}{2}BC，$​
∴​$BE=CF，$​
∴​$△ BCE≌△ CDF(\mathrm {SAS})，$​
∴​$∠ BCE=∠ CDF.$​
又∵​$∠ BCE+∠ ECD=90°，$​
∴​$∠ CDF+∠ ECD=90°，$​
∴在​$△ CKD$​中，​$∠ CKD=90°，$​
∴​$CE⊥ DF.$​
​$ (2) $​解：设正方形​$ABCD$​的边长为​$2a，$​​$HC=x(x＞2a＞0).$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB// CD，$​​$BC=AB=2a，$​​$∠ B=90°，$​
∴​$∠ BEC=∠ HCE.$​
∵​$△ CBE$​沿​$CE$​翻折得到​$△ CGE，$​​$E$​为​$AB$​的中点，
∴​$CG=BC=2a，$​​$EG=BE=\frac {1}{2}AB=a，$​​$∠ BEC=∠ CEG，$​​$∠ EGC=∠ B=90°，$​
∴​$∠ HGC=180°-∠ EGC=90°，$​​$∠ HCE=∠ CEG，$​
∴​$EH=HC=x，$​
∴​$HG=EH-EG=x-a.$​
​$ $​在​$Rt△ CGH$​中，由勾股定理，得​$CG^2+HG^2=HC^2，$​即​$(2a)^2+(x-a)^2=x^2，$​
​$ $​解得​$x=\frac {5}{2}a.$​
∴​$HG=\frac {5}{2}a-a=\frac {3}{2}a，$​
∴​$\frac {HG}{HC}=\frac {\frac {3}{2}a}{\frac {5}{2}a}=\frac {3}{5}.$​
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