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解：​$ (1) $​保持相等的线段有：​$OE=OF，$​​$OM=ON，$​​$DM=BN，$​
​$DE=BF，$​​$AM=CN，$​​$ME=NF，$​​$MF=NE.$​
​$ (2) $​证明​$OE=OF$​：
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$OA=OC，$​​$AB// CD，$​
∴​$∠ E=∠ F.$​
​$ $​在​$△ AOE$​和​$△ COF_{中}，$​
​$\begin {cases}∠ E=∠ F\\∠ AOE=∠ COF\\OA=OC\end {cases}，$​
∴​$△ AOE≌△ COF(\mathrm {AAS})，$​
∴​$OE=OF.$​
​$ (1) $​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$OA=OC，$​​$AD// BC，$​
∴​$∠ OAE=∠ OCF.$​
​$ $​在​$△ AOE$​和​$△ COF_{中}，$​
​$\begin {cases}∠ OAE=∠ OCF\\OA=OC\\∠ AOE=∠ COF\end {cases}，$​
∴​$△ AOE≌△ COF(\mathrm {ASA})，$​
∴​$OE=OF.$​
​$ (2) $​成立​$.$​
证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$OA=OC，$​​$AB// CD，$​
∴​$∠ E=∠ F.$​
​$ $​在​$△ AOE$​和​$△ COF_{中}，$​
​$\begin {cases}∠ E=∠ F\\∠ AOE=∠ COF\\OA=OC\end {cases}，$​
∴​$△ AOE≌△ COF(\mathrm {AAS})，$​
∴​$OE=OF.$​
​$ (3) $​当​$EF⊥ BC$​时，​$EF_{最短}，$​最小值为​$2.$​
解：∵平行四边形​$ABCD$​的面积为​$20，$​​$BC=10，$​
∴平行四边形​$BC$​边上的高为​$\frac {20}{10}=2.$​
​$ $​当​$EF⊥ BC$​时，​$EF $​的长度等于该高，此时​$EF_{最短}，$​最小值为​$2；$​
​$ $​当​$EF⊥ AB$​时，​$EF=\frac {20}{6}=\frac {10}{3}，$​
∵​$\frac {10}{3}＞2，$​
∴线段​$EF $​的最小值为​$2.$​
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