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$ (1) $证明：
∵$BE=DF，$
∴$BE-EF=DF-EF，$即$BF=DE。$
∵$AE⊥ BD，$$CF⊥ BD，$
∴$∠ AED=∠ CFB=90°。$
$ $在$Rt△ ADE$和$Rt△ CBF_{中}，$
${{\begin {cases} {{AD=BC}} \\{DE=BF} \end {cases}}}$
∴$Rt△ ADE≌Rt△ CBF(\mathrm {HL})。$
$ (2) $证明：连接$AC，$交$BD$于点$O。$
∵$Rt△ ADE≌Rt△ CBF，$
∴$∠ ADE=∠ CBF，$
∴$AD// BC。$
又∵$AD=BC，$
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=CO。$
解：​$(1) $​证明：延长​$ CE $​交​$ AB $​于点​$ G. $​
∵​$ AE⊥CE，$​
∴​$ ∠AEG = ∠AEC = 90°. $​
在​$△AEG $​和​$△AEC$​中：
​$\begin {cases}{∠GAE=∠CAE} \\{AE=AE} \\{∠AEG=∠AEC}\end {cases}$​
∴​$△AEG≌△ACE(\mathrm {ASA})$​
∴​$ GE = EC. $​
∵​$ BD = CD，$​
∴​$ DE $​为​$△CGB $​的中位线，
∴​$ DE//AB. $​∵​$ DE = BF，$​
∴​$ $​四边形​$ BDEF $​是平行四边形​$. $​
​$(2) BF=\frac {1}{2}(AB - AC). $​理由如下：
∵​$ $​四边形​$ BDEF $​是平行四边形，
∴​$ BF = DE. $​
∵​$ D，$​​$E $​分别是​$ BC，$​​$GC $​的中点，
∴​$ BF = DE = \frac {1}{2}BG.$​
∵​$ △AGE ≌ △ACE，$​
∴​$ AG = AC，$​
∴​$ BF = \frac {1}{2}(AB -AG)=\frac {1}{2}(AB - AC).$​

​解：$①$​选​$BE=DF.$​
证明:∵四边形​$ABCD$​是平行四边形​$，$​
∴​$AD=BC，AD∥BC.$​
∵​$BE=DF，$​
∴​$AF=CE，$​
∴四边形​$AECF $​是平行四边形​$. $​
​$②$​选​$∠AEB=∠CFD.$​
证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD//BC，$​
∴​$∠AEB=∠EAF. $​
∵​$∠AEB=∠CFD，$​
∴​$∠EAF=∠CFD，$​
∴​$AE//CF，$​
∴四边形​$AECF $​是平行四边形​$. $​
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