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$ (1) $证明：

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB// CD，$

∴$∠ BAC=∠ DCA。$

∵$AF=CE，$

∴$AE=CF$

∵$AG=CH，$

在$△AGE$和$△CHF_{中}，$

${{\begin {cases} {{AG=CH}} \\{∠BAC=∠DCA}\\{AE=CF} \end {cases}}}$

∴$△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS})$

∴$∠AEG=∠CFH$

∴$∠GEO=∠HFO$

∴$EG//FH$

$ (2) $证明：连接$GF，EH$

由$(1)$知$EG $平行且相等于$FH$

∴四边形$GFHE$是平行四边形

∴$GH，$$EF $互相平分。

$ FM=EN，$$FM// EN，$理由如下：

证明：

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AD// BC，$$∠ BAD=∠ DCB。$

∵$AE$平分$∠ BAD，$$CF $平分$∠ DCB，$

∴$∠ DAE=\frac {1}{2}∠ BAD，$$∠ BCF=\frac {1}{2}∠ DCB，$

∴$∠ DAE=∠ BCF。$

∵$AD// BC，$

∴$∠ DAE=∠ AEB，$

∴$∠ AEB=∠ BCF，$

∴$AE// CF。$

又∵$AF// EC，$

∴四边形$AECF $是平行四边形，

∴$AE=CF。$

∵$M，$$N$分别是$AE，$$CF $的中点，

∴$ME=FN，$且$ME// FN，$

∴四边形$MENF $是平行四边形，

∴$FM=EN，$$FM// EN。$

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