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 （1）证明：

 $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，

 $\therefore OA=OC，$$OB=OD，$

 $\because BE=DF，$

 $\therefore OB-BE=OD-DF，$即$OE=OF，$

 在$△ AOE$和$△ COF$中，

 $\begin{cases} OA=OC \\ ∠ AOE=∠ COF \\ OE=OF \end{cases}，$

 $\therefore △ AOE ≌ △ COF$（SAS），

 $\therefore AE=CF；$

 （2）解：

 $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，

 $\therefore OC=OD，$

 $\because ∠ COD=60°，$

 $\therefore △ COD$是等边三角形，

 $\therefore CD=OD=AB=6，$

 $\therefore BD=2OD=12，$

 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}，$

 $\therefore$ 矩形$ABCD$的面积$=AB × BC=6 × 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}。$

 （1）证明：

 $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，

 $\therefore AD // BC，$$AB=DC，$$∠ BAD=∠ ABC=90°，$

 $\because AM$平分$∠ BAD，$

 $\therefore ∠ BAM=∠ DAM=45°，$

 $\because AD // BC，$

 $\therefore ∠ DAM=∠ AEB，$

 $\therefore ∠ BAM=∠ AEB=45°，$

 $\therefore AB=BE，$

 $\because AB=DC，$

 $\therefore BE=DC；$

 （2）证明：

 $\because CM ⊥ AM，$$∠ AEB=45°，$

 $\therefore ∠ ECM=45°，$

 $\therefore EM=CM，$$∠ BEM=∠ DCM=180°-45°=135°，$

 在$△ BEM$和$△ DCM$中，

 $\begin{cases} BE=DC \\ ∠ BEM=∠ DCM \\ EM=CM \end{cases}，$

 $\therefore △ BEM ≌ △ DCM$（SAS），

 $\therefore ∠ MBE=∠ MDC。$

$ (1)$解：

$ $过点$E$作$EF // DC，$交$BC$的延长线于点$F，$

∵$DE // BC，$$EF // DC，$

∴四边形$DCFE$是平行四边形，

∴$DE=CF，$$EF=DC=2，$

∵$CD ⊥ BE，$$EF // DC，$

∴$EF ⊥ BE，$

$ $在$Rt△ BEF_{中}，$$BE=3，$$EF=2，$

∴$BF=\sqrt {BE^2+EF^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}，$

∵$BF=BC+CF=BC+DE，$

∴$BC+DE=\sqrt {13}；$

$ (2)$解：

$ $连接$AE，$交$DF $于点$O，$

∵四边形$ABCD$是平行四边形，四边形$ABEF $是矩形，

∴$AB // DC，$$AB // EF，$$AB=DC，$$AB=EF，$

∴$DC // EF，$$DC=EF，$

∴四边形$DCEF $是平行四边形，

∴$DF // EC，$

∵四边形$ABEF $是矩形，

∴$BF=AE，$

又∵$AC=BF=DF，$

∴$AC=AE=DF，$

∴$△ ACE$是等边三角形，

∴$∠ ACE=60°，$

∵$DF // EC，$

∴$∠ DGC=∠ ACE=60°。$