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 （1）解：当矩形$ABCD$的长$AD=2AB$（即长是宽的2倍）时，四边形$PMEN$是矩形。

 $\because E$是$AD$的中点，$AD=2AB，$

 $\therefore AB=AE=ED=DC，$

 $\because ∠ A=∠ D=90°，$

 $\therefore ∠ 1=∠ 2=45°，$

 $\therefore ∠ MEN=180°-45°-45°=90°，$

 $\because PM ⊥ EB，$$PN ⊥ EC，$

 $\therefore ∠ PME=∠ PNE=90°，$

 $\therefore$ 四边形$PMEN$是矩形；

 （2）解：当点$P$运动到$BC$的中点时，$PM=PN。$

 $\because P$是$BC$的中点，

 $\therefore BP=PC，$

 由（1）知$∠ 1=∠ 2=45°，$$∠ 3=∠ 4=45°，$

 $\therefore ∠ 3=∠ 4，$

 $\because PM ⊥ EB，$$PN ⊥ EC，$

 $\therefore ∠ PMB=∠ PNC=90°，$

 在$△ PBM$和$△ PCN$中，

 $\begin{cases} ∠ PMB=∠ PNC \\ ∠ 3=∠ 4 \\ BP=PC \end{cases}，$

 $\therefore △ PBM ≌ △ PCN$（AAS），

 $\therefore PM=PN。$

$∠ EDB=90°$

（答案不唯一）

矩形

 证明：

 $\because$ 四边形$ABDE$是平行四边形，

 $\therefore BD=AE，$$BD // AE，$

 $\because D$是$BC$的中点，

 $\therefore BD=CD，$

 $\therefore CD=AE，$$CD // AE，$

 $\therefore$ 四边形$ADCE$是平行四边形，

 $\because AB=AC，$$D$是$BC$的中点，

 $\therefore AD ⊥ BC，$即$∠ ADC=90°，$

 $\therefore$ 平行四边形$ADCE$是矩形。

 证明：

 连接$AC，$$BD，$交于点$O，$连接$OE，$

 $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

 $\therefore OA=OC，$$OB=OD，$

 $\because AE ⊥ EC，$

 $\therefore OE=\frac{1}{2}AC$，

 $\because BE ⊥ ED，$

 $\therefore OE=\frac{1}{2}BD，$

 $\therefore AC=BD，$

 $\therefore$ 平行四边形$ABCD$是矩形。

$(1)$证明：在$▱ABCD$中，$AD//BC，$$AB//CD，$$ AB=CD，$

∴$∠ABF=∠C.$

在$△ABF $和$△DCE$中，

${{\begin {cases} {{AB=CD}} \\{∠ABF=∠C}\\{BF=CE} \end {cases}}}$

∴$△ABF≌△DCE(\mathrm {SAS})，$

∴$AF=DE，$$∠AFB=∠DEC，$

∴$AF//DE，$

∴四边形$ADEF $是平行四边形$.$

又∵$DE⊥BC，$

∴四边形$ADEF $是矩形$. $

$(2)$在$▱ABCD$中，$AB=CD= 3，$

∵$DF²+ CD²=25=CF²，$

∴$∠CDF=90°.$

又∵$DE⊥BC，$

∴$S_{△CDE}=\frac {1}{2}×CF×DE=\frac {1}{2}×CD×DF，$

即$ DE=\frac {CD×DF}{CF}=\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}.$

又∵四边形$ADEF $是$ $矩形，

∴$AF=DE=\frac {12}{5}.$