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$ (1) $证明$： $∵$D ， E ， F $分别是$ AC ， AB ， BC $的中点$， $

∴$DE // FC ， EF // CD ， $

∴四边形$ DEFC $是平行四边形$. $

又 ∵$∠ DCF = 90 ^ { \circ } ， $

∴四边形$ DEFC $是矩形$. $

$(2) $理由$： $∵$∠ ACB = 90 ^ { \circ } ， ∠ A = 30 ^ { \circ } ， $

∴$AB = 2BC . $

又 ∵$E $是$ AB $的中点$， $

∴$AB = 2BE ， $

∴$BE = BC . $

∵四边形$ DEFC $是矩形$， $

∴$OE = OC ， $

∴$BO $平分$ ∠ ABC .$

$ $证明$： $连接$ BD $交$ AC $于点$ O， $连接$ EO $并延长到点$ G， $

使$ EO=OG， $连接$ GD， GB. $

∵矩形$ ABCD， $

∴$OB=OD=\frac {1}{2}BD=\frac {1}{2}AC. $

∵$EO=OG， $

∴四边形$ DEBG $是平行四边形$. $

又 ∵$AE=EF， $

∴$EO=\frac {1}{2}CF. $

∵$CF=CA， $

∴$EO=\frac {1}{2}CA， $即$ EG=CA. $

又 ∵$BD=CA， $

∴$EG=BD， $

∴四边形$ DEBG $是矩形$， $

∴$BE ⊥ DE.$

菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，

并且每一条对角线平分一组对角。