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$ (1)$证明：连接$AC，$

∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ B=60°，$

∴$AB=BC=CD，$$△ ABC$是等边三角形，

∵$E$是$BC$的中点，

∴$AE⊥ BC，$

∵$∠ AEF=60°，$

∴$∠ FEC=90°-60°=30°，$

∵$∠ C=180°-∠ B=120°，$

∴$∠ EFC=180°-120°-30°=30°，$

∴$∠ FEC=∠ EFC，$

∴$EC=FC，$

∵$BC=CD，$$BE=EC，$

∴$BE=DF。$

$ (2)$证明：连接$AC，$

∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ B=60°，$

∴$AB=AC，$$∠ BAC=60°，$$∠ ACF=∠ B=60°，$

∵$∠ EAF=60°，$

∴$∠ BAE+∠ EAC=∠ EAC+∠ CAF=60°，$

∴$∠ BAE=∠ CAF，$

$ $在$△ ABE$和$△ ACF_{中}，$

$ \begin {cases}∠ B=∠ ACF\\AB=AC\\∠ BAE=∠ CAF\end {cases}$

∴$△ ABE≌△ ACF(\mathrm {ASA})，$

∴$AE=AF，$

又∵$∠ EAF=60°，$

∴$△ AEF $是等边三角形。

 （1）证明：

 ∵四边形$ABCD$是菱形，

 ∴$OA=OC，$$OB=OD，$

 ∵$O$是$FH$的中点，

 ∴$OF=OH，$

 在$△ AOF$和$△ COH$中，

 $\begin{cases}OA=OC\\∠ AOF=∠ COH\\OF=OH\end{cases}$

 ∴$△ AOF≌△ COH$（SAS），

 ∴$∠ OAF=∠ OCH，$

 ∴$AF// CH，$

 同理可证$AG// CE，$

 ∴四边形$EFGH$是平行四边形。

 （2）解：

 ∵$\frac{AC}{BD}=2，$菱形$ABCD$的面积是20，

 $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=20，$

 设$BD=x，$则$AC=2x，$

 $\frac{1}{2}×2x× x=20，$解得$x=2\sqrt{5}，$

 ∴$AC=4\sqrt{5}，$$BD=2\sqrt{5}，$

 $OA=2\sqrt{5}，$$OB=\sqrt{5}，$

 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5，$

 ∵四边形$EFGH$是矩形，$∠ AHB=90°，$

 $O$是$FH$中点，

 ∴$OH=OB=\sqrt{5}，$

 设$BG=y，$$HG=z，$

 在$Rt△ HBG$中，$z^2=5^2-y^2，$

 在$Rt△ HFG$中，$z^2=(4\sqrt{5})^2-(8-y)^2，$

 联立解得$y=3，$$z=4，$

 ∴$FG=AB+BG=5+3=8，$

 ∴矩形$EFGH$的长为8，宽为4。