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$a＜-1$
$m＜-1$且$m≠-2$
解：
$\begin{aligned}\frac{x}{x+1}&=\frac{x}{3(x+1)}+1\\3x&=x+3(x+1)\\3x&=x+3x+3\\3x&=4x+3\\3x-4x&=3\\x&=3\\x&=-3\end{aligned}$
检验：当$x=-3$时，$3(x+1)≠0，$
$\therefore$原方程的解为$x=-3。$
解：
$\begin{aligned}3(x-2)+(x+2)(x-2)&=x(x+2)\\3x-6+x^2-4&=x^2+2x\\x^2+3x-10&=x^2+2x\\x&=10\end{aligned}$
检验：当$x=10$时，$(x+2)(x-2)≠0，$
$\therefore$原方程的解为$x=10。$
解：
$\begin{aligned}(x-1)^2-3&=(x+1)(x-1)\\x^2-2x+1-3&=x^2-1\\x^2-2x-2&=x^2-1\\2x&=1\\x&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)≠0，$
$\therefore$原方程的解为$x=-\frac{1}{2}。$
解：
$\begin{aligned}2(x+1)(x-2)-x(x+2)&=x^2-2\\2x^2-2x-4-x^2-2x&=x^2-2\\x^2-4x-4&=x^2-2\\4x&=2\\x&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x-2)≠0，$
$\therefore$原方程的解为$x=-\frac{1}{2}。$
解：
$\begin{aligned}\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}&=\frac{x+2m}{(x+2)(x-2)}\\(x+2)+2(x-2)&=x+2m\\x+2+2x-4&=x+2m\\3x-2&=x+2m\\2x&=2m+2\\x&=m+1\end{aligned}$
根据题意，$x＞1$且$x≠2$且$x≠-2，$
即$\begin{cases}m+1＞1 \\m+1≠2 \\m+1≠-2\end{cases}$
解得$m＞0$且$m≠1，$
$\therefore m$的取值范围是$m＞0$且$m≠1。$
$x_1=c，$$x_2=\frac{1}{c}$
​$ (x-1)+\frac {1}{x-1}$​
​$=a-1+\frac {1}{a-1}$​
$x_1=a，$$x_2=\frac{a}{a-1}$
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