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​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=CD，$​​$AB// CD，$​即​$AE// CF。$​
∵​$BE=DF，$​
∴​$AB-BE=CD-DF，$​即​$AE=CF，$​
∴四边形​$AECF $​是平行四边形。
​$ (2)$​解：如图，过点​$E$​作​$EH⊥ CD$​于点​$H，$​则​$∠ EHC=∠ EHF=90°。$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，​$BC=12，$​
∴​$BC=CD=12，$​​$∠ B=∠ BCD=90°，$​
∴四边形​$EBCH$​是矩形，
∴​$EH=BC=12，$​​$CH=BE=5，$​
∴​$DH=CD-CH=12-5=7。$​
∵​$BE=DF=5，$​
∴​$HF=DH-DF=7-5=2，$​
∴在​$Rt△ EHF_{中}，$​​$EF=\sqrt {EH^2+HF^2}=\sqrt {12^2+2^2}=2\sqrt {37}。$​

证明：如图，连接​$MC，$​​$BN。$​
∵​$△ ABM$​和​$△ CAN$​是等边三角形，
∴​$∠ BAM=∠ CAN=60°，$​​$AM=AB，$​​$AC=AN，$​
∴​$∠ BAM+∠ BAC=∠ CAN+∠ BAC，$​即​$∠ MAC=∠ BAN。$​
​$ $​在​$△ MAC$​和​$△ BAN$​中，
​$ \begin {cases}AM=AB， \\∠ MAC=∠ BAN， \\AC=AN，\end {cases}$​
∴​$△ MAC ≌ △ BAN(\mathrm {SAS})，$​∴​$MC=BN。$​
∵​$D，E，F_{分别是}MB，BC，CN$​的中点，
∴​$DE=\frac {1}{2}MC，$​​$EF=\frac {1}{2}BN，$​
∴​$DE=EF。$​

①（或②）
证明：​$(1)$​∵​$ BC//AF，$​
∴​$∠AFE=∠BGE，∠FAE=∠GBE.$​
∵​$E$​是​$AB$​的中点，
∴​$ AE=BE.$​
在​$△AEF $​和​$△BEG_{中}，$​
​$\begin {cases}{∠AFE=∠BGE}\\{∠FAE=∠GBE}\\{AE=BE}\end {cases}$​
∴​$△AEF≌△BEG(\mathrm {AAS})$​
​$(2) $​若选择条件​$①，$​则四边形​$AGBF $​是矩形​$ $​
由​$(1)$​知​$，△AEF≌△BEG，$​
∴​$AF=BG，EF=EG，$​
∴​$EF=\frac {1}{2}FG.$​
∵​$AF//BG，$​
∴四边形​$AGBF $​是平行四边形​$.$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB=CD.$​
∵​$EF=\frac {1}{2}CD，$​
∴​$EF=\frac {1}{2}AB，$​
∴​$FG=AB，$​
∴​$ $​四边形​$AGBF $​是矩形​$ $​
若选择条件②，则四边形​$AGBF $​是菱形​$ $​
由​$(1)$​知​$，△AEF≌△BEG，$​
∴​$AF=BG.$​
∵​$AF//BG，$​
∴四边形​$AGBF $​是平行四边形​$.$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB//CD.$​
∵​$EF⊥CD，$​
∴​$FG⊥AB，$​
∴四边形​$AGBF $​是菱形
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