解:$(1)$设参加此次研学活动的师生人数是$x,$原计划租用$y$辆$45$座客车。
根据题意,得$\begin {cases} 45y+15=x \\60(y-3)=x \end {cases}$
$ $解得$\begin {cases} x=600\\y=13 \end {cases}$
答:参加此次研学活动的师生人数是$600,$原计划租用$13$辆$45$座客车。
$ (2)$因为要使每名师生都有座位,所以若租用$45$座客车,则需要$13+1=14($辆$),$
此时租金为$200×14=2800($元$);$若租用$60$座客车,
则需要$13-3=10($辆$),$此时租金为$300×10=3000($元$)。$
$ $因为$2800<3000,$所以租用$14$辆$45$座客车合算。