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C
A
$0.80×10^{3}$
$0.82×10^{3}$
解： (1) 已知空瓶的质量$m_{\mathrm{瓶}}=140\ \mathrm{g}，$装满冰后总质量$m_{\mathrm{总}}=590\ \mathrm{g}，$
冰的质量$m_{\mathrm{冰}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{瓶}}=590\ \mathrm{g}-140\ \mathrm{g}=450\ \mathrm{g}，$
则空瓶的容积即为冰的体积，$V_{\mathrm{容}}=V_{\mathrm{冰}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}=\frac{450\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$
(2) 冰全部熔化成水，质量不变，水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{冰}}=450\ \mathrm{g}，$
水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{450\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=450\ \mathrm{cm}^3，$
需要添加水的体积$\Delta V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{容}}-V_{\mathrm{水}}=500\ \mathrm{cm}^3-450\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{cm}^3，$
需要添加水的质量$\Delta m_{\mathrm{水}}=\Delta V_{\mathrm{水}}\rho_{\mathrm{水}}=50\ \mathrm{cm}^3×1\ \mathrm{g/cm}^3=50\ \mathrm{g}$
(3) 向装满水的此瓶中缓慢放入质量为54g的某种金属小球，
溢出水的质量$m_{\mathrm{溢}}=m_{\mathrm{水}}+m_{\mathrm{瓶}}+\Delta m_{\mathrm{水}}+m_{\mathrm{金}}-m_{\mathrm{总}}'=450\ \mathrm{g}+140\ \mathrm{g}+50\ \mathrm{g}+54\ \mathrm{g}-674\ \mathrm{g}=20\ \mathrm{g}，$
溢出水的体积即为金属小球的体积，$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{20\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3，$
金属小球的密度$\rho_{\mathrm{金}}=\frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
解：(1) 根据$\rho=\frac{m}{V}，$若铝球为实心，则$V_{\mathrm{铝}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3，$
因为$V_{\mathrm{球}}=50\ \mathrm{cm}^3＞V_{\mathrm{铝}}，$所以此铝球为空心
(2) 球空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铝}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
(3) 若将空心部分注满水，注水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{空}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×30\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{g}，$
注水后球的总质量$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{水}}+m=30\ \mathrm{g}+54\ \mathrm{g}=84\ \mathrm{g}$
D
铜像高度$h_1 = 4.6\,\mathrm{m} = 460\,\mathrm{cm}$，模型高度$h_2 = 46\,\mathrm{cm}$，高度比例$\frac{h_2}{h_1} = \frac{46}{460} = \frac{1}{10}$。
等比例缩小，体积比例为$(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$。
材料相同，密度$\rho$不变，质量$m = \rho V$，则质量比例等于体积比例。
铜像质量$m_1 = 5\,\mathrm{t} = 5000\,\mathrm{kg}$，模型质量$m_2 = m_1 × \frac{1}{1000} = 5000\,\mathrm{kg} × \frac{1}{1000} = 5\,\mathrm{kg}$。
C
每吨降价200元，每升降价0.15元，
则1吨汽油的体积为：$\frac{200}{0.15}\ \mathrm{L}=\frac{4000}{3}\ \mathrm{L}=\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^3$，
汽油密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1\ \mathrm{t}}{\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^3}=\frac{3}{4}\ \mathrm{t/m}^3$，
50m³油罐可装汽油质量：$m=\rho V=\frac{3}{4}\ \mathrm{t/m}^3×50\ \mathrm{m}^3=37.5\ \mathrm{t}$。
A
$0.80 × 10^{3}$；$0.82 × 10^{3}$
【分析】
1. 求解空瓶容积：空瓶装满冰时，冰的体积等于空瓶容积。先通过总质量减去空瓶质量算出冰的质量，再利用密度公式变形$V=\frac{m}{\rho}$计算冰的体积，即得空瓶容积。
2. 求解需添加水的质量：冰熔化成水质量不变，先算出熔化成水的体积，用空瓶容积减去水的体积得到需加水的体积，再根据$m=\rho V$计算需添加水的质量。
3. 求解金属小球密度：放入金属球后，溢出水的质量等于装满水的总质量加金属球质量减去最终总质量；溢出水的体积等于金属球体积，再利用$\rho=\frac{m}{V}$计算金属球密度。
【解析】
(1) 已知空瓶质量$m_{瓶}=140\mathrm{g}$，装满冰后总质量$m_{总}=590\mathrm{g}$，则冰的质量：
$m_{冰}=m_{总}-m_{瓶}=590\mathrm{g}-140\mathrm{g}=450\mathrm{g}$
冰的密度$\rho_{冰}=0.9×10^{3}\mathrm{kg/m^{3}}=0.9\mathrm{g/cm^{3}}$，空瓶容积等于冰的体积，由$\rho=\frac{m}{V}$得：
$V_{容}=V_{冰}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}=\frac{450\mathrm{g}}{0.9\mathrm{g/cm^{3}}}=500\mathrm{cm^{3}}$
(2) 冰熔化成水后质量不变，即$m_{水}=m_{冰}=450\mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1\mathrm{g/cm^{3}}$，则水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{450\mathrm{g}}{1\mathrm{g/cm^{3}}}=450\mathrm{cm^{3}}$
需加水的体积：
$\Delta V_{水}=V_{容}-V_{水}=500\mathrm{cm^{3}}-450\mathrm{cm^{3}}=50\mathrm{cm^{3}}$
需加水的质量：
$\Delta m_{水}=\rho_{水}\Delta V_{水}=1\mathrm{g/cm^{3}}×50\mathrm{cm^{3}}=50\mathrm{g}$
(3) 装满水时瓶和水的总质量$m_{总水}=m_{瓶}+m_{水}+\Delta m_{水}=140\mathrm{g}+450\mathrm{g}+50\mathrm{g}=640\mathrm{g}$
放入金属球后溢出水的质量：
$m_{溢}=m_{总水}+m_{金}-m_{总}'=640\mathrm{g}+54\mathrm{g}-674\mathrm{g}=20\mathrm{g}$
溢出水的体积等于金属球的体积：
$V_{金}=V_{溢}=\frac{m_{溢}}{\rho_{水}}=\frac{20\mathrm{g}}{1\mathrm{g/cm^{3}}}=20\mathrm{cm^{3}}$
金属小球的密度：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{54\mathrm{g}}{20\mathrm{cm^{3}}}=2.7\mathrm{g/cm^{3}}$
【答案】
(1) $500\mathrm{cm^{3}}$
(2) $50\mathrm{g}$
(3) $2.7\mathrm{g/cm^{3}}$
【知识点】
密度公式的应用；质量的特性；排水法测体积
【点评】
本题是密度综合应用题，考查了密度公式的灵活运用、冰熔化的质量特性及排水法测固体体积的方法，解题关键是明确各物理量的关系，注意单位统一。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）判断铝球空心还是实心，可利用密度公式变形，先计算出质量为54g的实心铝球的体积，再与题目中给出的铝球实际体积对比：若实际体积大于实心体积，则为空心；若相等则为实心。
（2）若铝球是空心的，空心部分的体积等于铝球的总体积减去实心铝部分的体积。
（3）在空心部分注满水时，水的体积等于空心部分的体积，利用密度公式可算出注入水的质量，再加上原铝球的质量，就是注满水后球的总质量。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形可得，若该铝球为实心，其体积应为：
$V_{铝}=\frac{m}{\rho_{铝}}=\frac{54\mathrm{g}}{2.7\mathrm{g/cm}^3}=20\mathrm{cm}^3$
已知铝球实际体积$V_{球}=50\mathrm{cm}^3$，因为$V_{球}＞V_{铝}$，所以此铝球为空心。
(2) 空心部分的体积：
$V_{空}=V_{球}-V_{铝}=50\mathrm{cm}^3-20\mathrm{cm}^3=30\mathrm{cm}^3$
(3) 若在空心部分注满水，水的体积等于空心部分体积，即$V_{水}=V_{空}=30\mathrm{cm}^3$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$可得注入水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\mathrm{g/cm}^3×30\mathrm{cm}^3=30\mathrm{g}$
注满水后球的总质量：
$m_{总}=m+m_{水}=54\mathrm{g}+30\mathrm{g}=84\mathrm{g}$
【答案】
(1) 该铝球是空心的；
(2) 空心部分的体积是$30\mathrm{cm}^3$；
(3) 注满水后球的总质量是$84\mathrm{g}$。
【知识点】
1. 密度公式的应用；
2. 空心物体的判断与计算；
3. 总质量的计算。
【点评】
本题是密度知识的经典应用题型，重点考查对密度公式及其变形的灵活运用，需清晰梳理空心物体中实心部分、空心部分的体积关系，以及注液后总质量的计算逻辑，是巩固密度概念和公式应用的基础题，有助于提升学生分析物理量之间关系的能力。
【难度系数】
0.8
设甲烧杯中，水和煤油的质量均为$m$，则水的体积$V_{水1}=\frac{m}{\rho_{水}}$，煤油的体积$V_{煤油1}=\frac{m}{\rho_{煤油}}$，烧杯容积$V = V_{水1}+V_{煤油1}=m\left(\frac{1}{\rho_{水}}+\frac{1}{\rho_{煤油}}\right)$。
设乙烧杯中，水和煤油的体积均为$V'$，则总质量$m_{乙}=\rho_{水}V'+\rho_{煤油}V'$，且$V = 2V'$，即$V'=\frac{V}{2}=\frac{m}{2}\left(\frac{1}{\rho_{水}}+\frac{1}{\rho_{煤油}}\right)$。
$m_{甲}=2m$，$m_{乙}=(\rho_{水}+\rho_{煤油})·\frac{m}{2}\left(\frac{1}{\rho_{水}}+\frac{1}{\rho_{煤油}}\right)=\frac{m}{2}(\rho_{水}+\rho_{煤油})\left(\frac{\rho_{煤油}+\rho_{水}}{\rho_{水}\rho_{煤油}}\right)=\frac{m(\rho_{水}+\rho_{煤油})^{2}}{2\rho_{水}\rho_{煤油}}$。
代入$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{煤油}=0.8×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^3$，得$m_{乙}=\frac{m(1.8)^{2}}{2×1.0×0.8}=\frac{3.24m}{1.6}=\frac{81m}{40}$。
$\frac{m_{甲}}{m_{乙}}=\frac{2m}{\frac{81m}{40}}=\frac{80}{81}$，即$m_{甲}:m_{乙}=80:81$。
D
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