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第39页

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$ C$

$(1,4)$

$126°$

解$：(1) ∠BCE = ∠BAE. $证明如下$： $

∵$ $四边形$ ABCD $是平行四边形$， $

∴$ ∠BAD = ∠BCD. $

∵$ AE⊥AD， CE⊥CD， $

∴$ ∠EAD = ∠ECD = 90°. $

∴$ ∠BCD - ∠ECD = ∠BAD - ∠EAD， $

即$ ∠BCE = ∠BAE.$

$(2) $如图$， $延长$ AE $交$ BC $于点$ F. $

∵$ $四边形$ ABCD $是平行四边形$， $

∴$ AD // BC， AB = CD， $

∴$ ∠BFA = ∠EAD = 90°. $

∵$ ∠AFC = 90° = ∠BFA. $

∵$ ∠BEA = 135°，$

∴$ ∠BEF = 180° - ∠BEA = 180° - 135° = 45°. $

在$ Rt△BFE $中$， ∠BEF = 90° - ∠BEF$

$ = 90° - 45° = 45°.$

∴$ ∠BEF = ∠BFE. $

∴$ BE = BF. $

∴$∠BCE=∠BAE，∠AFC=∠BFA$

∴$ △ABE ≌ △CEF (\mathrm {AAS})， $

∴$ AB = CE. $

∵$ AB = CD， $

∴$ CE = CD.$

$40°$或$100°$

$\sqrt{7}$或5

解$：(2) $分三种情况：

① 如图③，

∵$AD=DE=EF=CF，$

∴$\frac {AD}{AB}=\frac {1}{3}.$

② 如图④，

∵$AD=DE=CF，$$DF=FE=CE，$

∴$\frac {AD}{AB}=\frac {2}{3}.$

③ 如图⑤，

∵$AD=DE=CF，$$FD=DC=CE，$

∴$\frac {AD}{AB}=2.$

综上所述，$\frac {AD}{AB}$的值为$\frac {1}{3}$或$\frac {2}{3}$或$2.$