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第45页

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$\frac{2}{3}$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AD// BC，$$OA=OC，$

∴$∠EAO=∠FCO.$

$ $在$△ OAE$和$△ OCF_{中}，$

$\begin {cases}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end {cases}$

∴$△ OAE ≌ △ OCF(\mathrm {ASA})，$

∴$OE=OF.$

$ $同理可得$OG=OH，$

∴四边形$EGFH$是平行四边形$.$

$ (2) □ GBCH，$$□ ABFE，$$□ EFCD，$$□ EGFH$

证明$：(1)$在平行四边形$ ABCD $中，点$ O $是对角线$ $

$BD $的中点

∴$AD// BC，BO=DO，$

∴$∠ADB=∠CBD.$

在$△BOE$与$△DOF_{中}$

$\begin {cases}{∠EBO=∠FDO}\\{BO=DO}\\{∠BOE=∠DOF}\end {cases}$

∴$△BOE≌ △DOF(\mathrm {ASA})，$

∴$OE=OF.$

又∵$BO=DO，$

∴$ $四边形$ BEDF $是平行四边形$.$

$(2)②$∵$DN⊥EC，CG⊥DE，$

∴$∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，$

∴$∠EDN=∠ECG.$

∵$DE=DC，DN⊥EC，$

∴$∠EDN=∠CDN，$

∴$∠ECG=∠CDN.$

∵$∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，$

$∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，$

∴$∠CDN=∠DHC，$

∴$CD=CH.$