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​$ C$​
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证明：​$(1)$​将​$□ ABCD$​沿过点​$A$​的直线​$l$​折叠，使点
​$D$​落到​$AB$​边上的点​$D'$​处，
∴​$∠ DAE=∠ D'AE$​，​$∠ DEA=∠ D'EA$​，
​$∠ D=∠ AD'E$​，
∵​$DE// AD'$​，
∴​$∠ DEA=∠ EAD'$​，
∴​$∠ DAE=∠ EAD'=∠ DEA=∠ D'EA$​，
∴​$AD// D'E$​，
∴四边形​$DAD'E$​是平行四边形，
∴​$DE=AD'$​，
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB// DC$​，​$AB=DC$​，
∴​$CE// D'B$​，​$CE=D'B$​，
∴四边形​$BCED'$​是平行四边形。
​$ (2) $​证明：∵​$BE$​平分​$∠ ABC$​，
∴​$∠ CBE=∠ EBA$​，
∵​$AD// BC$​，
∴​$∠ DAB+∠ CBA=180°$​，
∵​$∠ DAE=∠ BAE$​，
∴​$∠ EAB+∠ EBA=90°$​，
∴​$∠ AEB=90°$​，
∴​$AB^2=AE^2+BE^2$​。
​$ C$​
$4t$
$3-4t$
解：​$(2)$​∵​$AB=3\ \mathrm {cm}$​，​$AD=5\ \mathrm {cm}$​，​$BD=4\ \mathrm {cm}$​，
∴​$AB^2+BD^2=3^2+4^2=25=AD^2$​，
∴​$△ ABD$​是直角三角形，且​$∠ ABD=90°$​，
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB// CD$​，​$AB=CD=3\ \mathrm {cm}$​，
∴​$∠ BDC=∠ ABD=90°$​，
​$ $​当​$△ OPD$​是等腰三角形时，​$DP=DO=4t\mathrm {cm}$​，
∴​$∠ DOP=∠ DPO$​，
又∵​$AB// CD$​，
∴​$∠ BAO=∠ DPO$​，
∵​$∠ AOB=∠ DOP$​，
∴​$∠ BAO=∠ BOA$​，
∴​$AB=BO=3\ \mathrm {cm}$​，
​$ $​又​$BO=BD-DO=(4-4t)\mathrm {cm}$​，
∴​$4-4t=3$​，解得​$t=\frac {1}{4}$​，
∴当​$△ OPD$​是等腰三角形时，​$t $​的值是​$\frac {1}{4}$​。
​$ (3)\ \mathrm {t} $​的值为​$\frac {3}{5}$​或​$\frac {5}{2}$​或​$3$​。
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