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第41页

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$\sqrt{10}$

$\frac{12}{5}$

解：如答图，连接$EG，$$∵E$是$CD$的中点，

$∴DE=CE，$

由翻折的性质，得$AF=AD=10，$$∠ AFE=∠ D=90°，$

$FE=DE，$$∴∠ EFG=90°=∠ C，$$FE=CE.$

在$\mathrm{Rt}△ CEG$和$\mathrm{Rt}△ FEG$中，$\begin{cases}EG=EG,\\CE=FE,\end{cases}$

$∴\mathrm{Rt}△ CEG≌\mathrm{Rt}△ FEG(\mathrm{HL})，$$∴CG=FG.$

设$CG=FG=y，$则$AG=AF+FG=10+y，$

$BG=BC-CG=10-y，$

在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，由勾股定理，得$6^2+(10-y)^2=(10+y)^2，$

解得$y=\frac{9}{10}，$即$CG$的长为$\frac{9}{10}.$

解：如答图，连接$BO.$

$∵$ 四边形$ABCD$是矩形，

$∴DC// AB，$$∠ DCB=90°，$

$∴∠ FCO=∠ EAO.$

在$△ COF$和$△ AOE$中，$\begin{cases}∠ FCO=∠ EAO,\\∠ COF=∠ AOE,\\CF=AE,\end{cases}$

$∴△ COF≌△ AOE(\mathrm{AAS})，$

$∴OE=OF，$$OA=OC.$

$∵BF=BE，$$∴BO⊥ EF，$$∴∠ BOE=90°，$

$∴∠ BEF+∠ ABO=90°.$

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$OA=OC，$

$∴BO=AO=OC，$$∴∠ BAC=∠ ABO，$

又$∵∠ BEF=2∠ BAC，$$∠ BEF+∠ ABO=90°，$

$∴2∠ BAC+∠ BAC=90°，$$∴∠ BAC=30°，$

$∵BC=1，$$∴AC=2BC=2，$

$∴AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}.$

$∴AB$的长为$\sqrt{3}.$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AB=CD，$$∠ A=∠ C=90°，$$AB// CD，$

∴$∠ ABD=∠ BDC.$

∵$△ BEH$是$△ BAH$翻折而成的，

∴$∠ ABH=∠ EBH，$$∠ A=∠ HEB=90°，$$AB=BE，$

∴$∠ DBH=\frac {1}{2}∠ ABD.$

∵$△ DGF $是$△ DGC$翻折而成的，

∴$∠ FDG=∠ CDG，$$∠ C=∠ DFG=90°，$$CD=DF，$

∴$∠ BDG=\frac {1}{2}∠ BDC，$$BE=DF，$$∠ HEB=∠ DFG=90°，$

∴$∠ DBH=∠ BDG，$

∴$△ BEH≌△ DFG(\mathrm {ASA}).$

$ (2)$∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=6\ \mathrm {cm}，$$BC=8\ \mathrm {cm}，$

∴$AB=CD=6\ \mathrm {cm}，$$AD=BC=8\ \mathrm {cm}.$

∴$BD=\sqrt {BC^2+CD^2}=\sqrt {8^2+6^2}=10(\mathrm {cm}).$

$ $由$(1)$知，$FD=CD，$$CG=FG，$

∴$BF=10-6=4(\mathrm {cm}).$

$ $设$FG=x\mathrm {cm}，$则$BG=(8-x)\mathrm {cm}，$

$ $在$Rt△ BGF_{中}，$$BG^2=BF^2+FG^2，$即$(8-x)^2=4^2+x^2，$

$ $解得$x=3，$即$FG=3\ \mathrm {cm}.$