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证明：$(1)$∵$BE// AC，$$AE// BD，$

∴四边形$AEBO$为平行四边形$.$

∵菱形$ABCD$的对角线$AC，$$BD$相交于点$O，$

∴$AC⊥ BD，$

∴$∠ AOB=90°.$

∴平行四边形$AEBO$为矩形$.$

$ (2)$∵菱形$ABCD$的对角线$AC，$$BD$相交于点$O，$

∴$OA=\frac {1}{2}AC=12.$

$ $在矩形$AEBO$中，$∠ OAE=90°，$$OE=13，$

∴$AE=\sqrt {13^2-12^2}=5.$

∴$S_{矩形AEBO}=5×12=60.$

∴$S_{菱形ABCD}=2S_{矩形AEBO}=120.$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是菱形，

∴$∠ DAB=∠ DCB，$$AB=BC=CD=DA.$

∵$BE=BF，$

∴$BA-BE=BC-BF，$即$AE=CF.$

$ $在$△ ADE$和$△ CDF_{中}，$

$\begin {cases}\ \mathrm {A}D=CD\\∠ DAE=∠ DCF\\AE=CF， \end {cases}$

∴$△ ADE≌△ CDF(\mathrm {SAS}).$

$ (2)$∵$△ ADE≌△ CDF，$

∴$∠ AED=∠ CFD，$即$∠ AEM=∠ CFN.$

∵$BA=BC，$

∴$∠ BAC=∠ BCA，$即$∠ EAM=∠ FCN.$

又∵$AE=CF，$

∴$△ AEM≌△ CFN(\mathrm {ASA})，$

∴$ME=NF.$

证明：$(1)$∵四边形$EFGH$是矩形，

∴$EH=FG，$$EH// FG，$

∴$∠ GFH=∠ EHF.$

∵$∠ BFG=180°-∠ GFH，$$∠ DHE=180°-∠ EHF，$

∴$∠ BFG=∠ DHE.$

∵四边形$ABCD$是菱形，

∴$AD// BC.$

∴$∠ GBF=∠ EDH.$

∴$△ BGF≌△ DEH(\mathrm {AAS}).$

∴$BG=DE.$

$ (2)$解：如答图，连接$EG.$

∵四边形$EFGH$是矩形，

∴$FH=EG.$

∵四边形$ABCD$是菱形，

∴$AD=BC，$$AD// BC.$

∵$E$为$AD$的中点，

∴$AE=ED.$

∵$BG=DE，$

∴$AE=BG，$

∵$AE// BG，$

∴四边形$ABGE$是平行四边形$.$

∴$AB=EG.$

∵$EG=FH=2，$

∴$AB=2.$

∴菱形$ABCD$的周长$=8.$