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第63页

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证明:∵$E，F，G_{分别是}BC，AC，BA$的中点$，$

∴$GF// BC，EF=\frac {1}{2}AB.$

∵$GF≠ DE，$

∴四边形$DEFG $是梯形$.$

∵$AD⊥ BC，$即$∠ ADB=90°.$

∵$G $是$AB$的中点$，$

∴$DG=\frac {1}{2}AB，$

∴$DG=EF，$

∴四边形$DEFG $是等腰梯形$.$

$ $证明$：$如答图$，$连接$CE.$

∵四边形$ABFE$为梯形$，AE// BF，C$为$BF $的中点$，$

∴$BC=CF.$

∵$AE=\frac {1}{2}BF，$

∴$AE=BC=CF，$

∴四边形$ABCE、$四边形$ACFE$都是平行四边形$，$

∴$DC=\frac {1}{2}AC，AC=EF，$

∴$DC=\frac {1}{2}EF.$

$ $解$：$如答图$，$过点$D$作$DG⊥ BC$于点$G.$

∵$AD// BC，∠ B=90°，$

∴$∠ A=90°.$

$ $可得四边形$ABGD$为矩形$，$

∴$BG=AD=1，AB=DG.$

∵$BC=4，$

∴$GC=3.$

∵$∠ DGC=90°，∠ C=45°，$

∴$∠ CDG=45°，$

∴$DG=GC=3，$

∴$AB=3.$

又∵$E$为$AB$的中点$，$

∴$BE=\frac {1}{2}AB=\frac {3}{2}.$

∵$EF// DC，$

∴$∠ EFB=∠ C=45°.$

∴在$△ BEF_{中}，∠ B=90°，EF=\sqrt {2}BE=\frac {3\sqrt {2}}{2}.$