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解：​$(2)$​分式​$\frac {x^2-2x+3}{x-1}$​为​$“$​和谐分式​$”。$​理由如下：
∵​$\frac {x^2-2x+3}{x-1}=\frac {x^2-2x+1+2}{x-1}=\frac {(x-1)^2+2}{x-1}=x-1+\frac {2}{x-1}，$​
∴分式​$\frac {x^2-2x+3}{x-1}$​为​$“$​和谐分式​$”。$​
​$ (3)$​原式​$=\frac {3x+6}{x+1}-\frac {x-1}{x}·\frac {x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac {3x+6}{x+1}-\frac {x+2}{x+1}=\frac {2x+4}{x+1}$​
​$=\frac {2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac {2}{x+1}。$​
​$ $​当​$x=-3，-2，0，1$​时，​$2+\frac {2}{x+1}$​的值为整数。
∵当​$x=-2，0，1$​时，原分式没有意义，
∴当​$x=-3$​时，​$\frac {3x+6}{x+1}-\frac {x-1}{x}÷\frac {x^2-1}{x^2+2x}$​的值为整数。
解：​$(1) $​∵​$a+\frac {1}{a}=-5，$​
∴原式​$=3a+5+\frac {3}{a}=3(a+\frac {1}{a})+5=-15+5=-10.$​
​$ (2) $​∵​$x+\frac {1}{x+1}=9，$​
∴​$x+1≠0，$​
即​$x≠-1.$​
∴​$\frac {x^2+5x+5}{x+1}=\frac {(x+1)^2+3(x+1)+1}{x+1}=x+1+3+\frac {1}{x+1}=13. $​
∴​$\frac {x+1}{x^2+5x+5}=\frac {1}{13}.$​
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