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解：​$(1)$​由定义​$m*n=3^n×3^m，$​得
​$ 2*3=3^3×3^2=27×9=243$​
​$ (2) $​因为​$2*(x+1)=81，$​
​$ $​所以​$3^{x+1}×3^2=3^4，$​
​$ $​即​$3^{x+3}=3^4，$​
​$ $​所以​$x+3=4，$​解得​$x=1$​
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