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解：​$(1)$​解不等式​$6x-1＞2(x+m)-3，$​
去括号，得​$6x-1＞2x+2m-3，$​
移项，得​$6x-2x＞2m-3+1，$​
合并同类项，得​$4x＞2m-2，$​
​$ $​系数化为​$1，$​得​$x＞\frac {m-1}{2}。$​
​$ $​解不等式​$\frac {x-5}{2}+1＜x+3，$​
去分母，得​$x-5+2＜2x+6，$​
移项、合并同类项，得​$-x＜9，$​
​$ $​系数化为​$1，$​得​$x＞-9。$​
因为两个不等式的解集相同，
所以​$\frac {m-1}{2}=-9，$​
​$ $​解得​$m=-17。$​
​$ (2)$​由​$(1)$​知不等式​$6x-1＞2(x+m)-3$​的解集
为​$x＞\frac {m-1}{2}，$​
​$ $​不等式​$\frac {x-5}{2}+1＜x+3$​的解集为​$x＞-9。$​
​$ $​因为​$6x-1＞2(x+m)-3$​的解都是​$\frac {x-5}{2}+1$​
​$＜x+3$​的解，
​$ $​所以​$\frac {m-1}{2}≥-9，$​
​$ $​解得​$m≥-17。$​
不是
解：(2)$\begin{cases}2x+3y=5k+2&①\\5x-y=4k+5&②\end{cases}$
$②-①，$得$3x-4y=3-k。$
因为$\frac{3}{2}x-2y＞7，$两边乘2得$3x-4y＞14，$
所以$3-k＞14，$
解得$k＜-11。$
(3)解方程$3(x-1)=k，$得$x=\frac{k}{3}+1。$
因为$k＜3，$所以$\frac{k}{3}＜1，$则$x=\frac{k}{3}+1＜2。$
解不等式$4x-1＜x+2m，$
移项、合并同类项，得$3x＜2m+1，$
系数化为1，得$x＜\frac{2m+1}{3}。$
因为方程的解是不等式的“友好解”，
所以$\frac{2m+1}{3}≥2，$
解得$m≥\frac{5}{2}，$
所以$m$的最小整数值为$3。$
解：(1)解不等式$2x+3m＞5m-4n，$
移项、合并同类项，得$2x＞2m-4n，$
系数化为1，得$x＞m-2n。$
解不等式$y+3m+3n+10＜5m-9，$
移项、合并同类项，得$y＜2m-3n-19。$
因为$m,n$是整数，
且不等式$2x+3m＞5m-4n$的最小整数解为$x=8，$
不等式$y+3m+3n+10＜5m-9$的最大整数解
为$y=-8，$
所以$\begin{cases}m-2n=7\\2m-3n-19=-7\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3\\n=-2\end{cases}$
(2)因为$|x-n|=x-n，$$|x-m|=m-x，$
所以$x-n≥0，$$x-m≤0。$
将$m=3，$$n=-2$代入，得$x-(-2)≥0，$$x-3≤0，$
即$x≥-2，$$x≤3，$
所以$x$的最小整数解为$-2，$最大整数解为$3。$
解：分三种情况讨论：
​$ ①$​当​$x＜1$​时，​$x-1＜0，$​​$x-3＜0，$​
​$ $​则​$2|x-1|+3|x-3|=-2(x-1)-3(x-3)$​
​$=-5x+11≤ a，$​
​$ $​解得​$x≥\frac {11-a}{5}，$​
要使不等式有解，则​$\frac {11-a}{5}＜1，$​解得​$a＞6；$​
​$ ②$​当​$1≤ x≤3$​时，​$x-1≥0，$​​$x-3≤0，$​
​$ $​则​$2|x-1|+3|x-3|=2(x-1)-3(x-3)$​
​$=-x+7≤ a，$​
​$ $​解得​$x≥7-a，$​
要使不等式有解，则​$7-a≤3，$​
解得​$a≥4；$​
​$ ③$​当​$x＞3$​时，​$x-1＞0，$​​$x-3＞0，$​
​$ $​则​$2|x-1|+3|x-3|=2(x-1)+3(x-3)$​
​$=5x-11≤ a，$​
​$ $​解得​$x≤\frac {11+a}{5}，$​
要使不等式有解，则​$\frac {11+a}{5}＞3，$​解得​$a＞4；$​
综上，若不等式​$2|x-1|+3|x-3|≤ a$​有解，
则​$a≥4，$​即​$a$​的最小值是​$4。$​
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