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解​$： (1)$​设李老板购进香梨​$ x $​千克，苹果​$ (3x+20) $​千克，
根据题意得​$ 1.5(3x+20)+2x=420 ，$​
解得​$ x=60 ，$​
则​$ 3x+20=3×60+20=200 ($​千克​$)。$​
答：李老板购进香梨​$60$​千克，苹果​$200$​千克。
​$ (2)$​设这​$4$​天平均每天卖出苹果​$ m $​千克，
则平均每天卖出香梨​$ (50-m) $​千克，
因为每天利润大于​$268$​元，
所以​$ (7-1.5)m+(7-2)(50-m)＞268 ，$​
解得​$ m＞36 。$​
因为苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的​$3$​倍，
所以​$ m＜3(50-m) ，$​
解得​$ m＜37.5 。$​
综上，​$ 36＜m＜37.5 ，$​且销售量取整数，
所以​$ m=37 ，$​
则​$ 50-37=13 ($​千克​$)。$​
答：这​$4$​天平均每天卖出苹果​$37$​千克，平均每天
卖出香梨​$13$​千克。
解:(1)根据题意，得$\begin{cases}8x=6y \\10x+4y=230 \end{cases}，$
解得$\begin{cases}x=15 \\y=20 \end{cases}。$
答：​$A$​款饰品的进价为​$15$​元​$/$​个，​$B$​款饰品的进
价为​$20$​元​$/$​个。
(2)设购进A款饰品$ a $个，
则购进B款饰品$ (100-a) $个，
根据题意，得$ 15a+20(100-a) ≤ 1700 ，$
解得$ a ≥ 60 ，$
又因为A款饰品最多62个，
所以$ 60 ≤ a ≤ 62 。$
因为$ a $为整数，
所以$ a=60,61,62 ，$共有三种购进方案：
方案一：购进​$A$​款饰品​$60$​个，购进​$B$​款饰品​$40$​个；
方案二：购进​$A$​款饰品​$61$​个，购进​$B$​款饰品​$39$​个；
方案三：购进​$A$​款饰品​$62$​个，购进​$B$​款饰品​$38$​个。
(3)利润为$ (21-15)a+(28-20)(100-a)=-2a+800 ，$
因为$ 60 ≤ a ≤ 62 $且$ a $为整数，
所以当$ a=60 $时，利润最大，为680元。
设红包总额为$ m $元，
根据题意得$ 680-m ≥ [15×60+20×(100-60)]×35\% ，$
解得$ m ≤ 85 。$
答：小李给出的红包总额不能超过​$85$​元。
解：设分配了$ x $间宿舍，则有$ (5x+5) $名女生。
依题意，得
$\begin{cases}5x+5＜35 \\0＜(5x+5)-8(x-2)＜8 \end{cases}$
解得$ \frac{13}{3}＜x＜6 。$
因为宿舍数为整数，
所以$ x=5 。$
当$ x=5 $时，女生人数为$ 5x+5=5×5+5=30 。$
答：分配了$5$间宿舍，有$30$名女生。
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