证明$： (2)$设$∠ BAG=x。$
∵$AE⊥ AB，$
∴$∠ EAG=90°-∠ BAG=90°-x。$
∵$AG $平分$∠ EAM，$
∴$∠ EAM=2∠ EAG=180°-2x，$
∴$∠ BAM=90°-∠ EAM=2x-90°。$
∵$MN// PQ，$$AB// CD，$
∴$∠ ABQ=∠ BAM，$$∠ CDQ=∠ ABQ，$
∴$∠ CDQ=∠ BAM=2x-90°。$
∵$CD⊥ DF，$
∴$∠ FDQ=90°+∠ CDQ=2x，$
∴$2∠ BAG=∠ FDQ。$
$(3) ∠ HBD+∠ AHB+∠ BAH=240°$
或$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=120°。$理由如下：
如图①，当点$H$在点$K$上方时，过点$H$作$HT// MN，$
则$HT// MN// PQ，$
∴$∠ 1=∠ HBD，$$∠ MAB=∠ ABD=60°，$
$∠ AHT+∠ HAM=180°，$
∴$∠ HBD+∠ AHB+∠ HAM=180°，$
∴$∠ HBD+∠ AHB+∠ HAM+∠ MAB=240°，$
∴$∠ HBD+∠ AHB+∠ BAH=240°；$
如图②，当点$H$在点$C，K$之间时，过点$H$作$HT// MN$
则$HT// MN// PQ，$
∴$∠ HBD=∠ THB，$$∠ THA=∠ HAC，$
$∠ BAC=180°-∠ ABD=120°，$
∴$∠ HBD=∠ THA+∠ AHB=∠ AHB+∠ HAC，$
∴$∠ HBD=∠ AHB+∠ BAH-∠ BAC，$
∴$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=∠ BAC，$
即$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=120°；$
如图③，当点$H$在点$C，D$之间时，过点$H$作$HT// MN$
则$HT// MN// PQ，$
∴$∠ HAN=∠ AHT，$$∠ BHT=∠ HBD，$
$∠ BAC=180°-∠ ABD=120°，$
∴$∠ AHT=120°-∠ BAH，$
∴$∠ AHB=∠ AHT+∠ BHT$
$=120°-∠ BAH+∠ HBD，$
∴$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=120°。$
当点$H$在点$K$或点$C$处时，
经验证，符合$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=120°。$
综上所述，满足条件的关系是
$∠ HBD+∠ AHB+∠ BAH=240°$
或$∠ AHB+∠ BAH-∠ HBD=120°。$
