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证明：​$(1)$​由折叠可知​$∠ ADE=∠ ADC=100°，$​
∴​$∠ ADB=180°-∠ ADC$​
​$=180°-100°=80°，$​
∴​$∠ BDE=∠ ADE-∠ ADB$​
​$=100°-80°=20°，$​
∴​$∠ BDE=∠ B=20°，$​
∴​$AB// DE。$​
​$ (2)$​∵​$∠ ADC$​是​$△ ABD$​的外角，
∴​$∠ ADC=∠ B+∠ BAD，$​
∴​$100°=20°+∠ BAD，$​
∴​$∠ BAD=80°。$​
∵​$AE$​平分​$∠ BAD，$​
∴​$∠ EAD=\frac {1}{2}∠ BAD=\frac {1}{2}×80°=40°。$​
​$ $​在​$△ ADE$​中，​$∠ ADE+∠ EAD+∠ E=180°，$​
∴​$∠ E=180°-∠ ADE-∠ EAD$​
​$=180°-100°-40°$​
​$=40°。$​
​$ C$​
​$ C$​
26

$70°$或$10°$
20
30
解：​$(1)$​∵​$BO，CO$​分别平分​$∠ ABC，∠ ACB，$​
∴​$∠ OBC=\frac {1}{2}∠ ABC，$​
​$∠ OCB=\frac {1}{2}∠ ACB。$​
∴​$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB$​
​$=180°-\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$​
​$ =180°-\frac {1}{2}(180°-∠ BAC)$​
​$=180°-90°+\frac {1}{2}∠ BAC$​
​$=90°+\frac {1}{2}∠ BAC。$​
​$ (2) ∠ BOD=∠ COG，$​理由如下：
∵​$△ ABC$​各角的平分线​$AD，BE，CF $​相交于
点​$O，$​
∴​$∠ ABO=\frac {1}{2}∠ ABC，$​
​$∠ BAO=\frac {1}{2}∠ BAC，$​
​$∠ OCG=\frac {1}{2}∠ ACB。$​
∵​$∠ BOD+∠ AOB=180°，$​
且​$∠ ABO+∠ BAO+∠ AOB=180°，$​
∴​$∠ BOD=∠ ABO+∠ BAO$​
​$=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)$​
​$=\frac {1}{2}(180°-∠ ACB)$​
​$=90°-∠ OCG。$​
∵​$OG⊥ BC$​于点​$G，$​
∴​$∠ OGC=90°，$​
∴​$∠ COG=90°-∠ OCG，$​
∴​$∠ BOD=∠ COG。$​
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