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解：​$(1)$​如图​$①，$​由三角形外角的性质，
得​$∠ α=∠ 1+∠ D，$​​$∠ β=∠ 4+∠ F，$​
​$ $​所以​$∠ α+∠ β=∠ 1+∠ D+∠ 4+∠ F。$​
​$ $​又​$∠ 1=∠ 2，$​​$∠ 3=∠ 4，$​​$∠ 2+∠ 3=90°，$​
​$ $​所以​$∠ α+∠ β=∠ 2+∠ D+∠ 3+∠ F$​
​$=∠ 2+∠ 3+30°+90°=210°。$​
​$ (2)$​如图​$②，$​由三角形外角性质，
得​$∠ 1=∠ A+∠ C，$​​$∠ 2=∠ B+∠ D，$​
​$ $​因为​$∠ BOF=120°，$​
所以​$∠ 3=180°-120°=60°。$​
由三角形内角和定理，
得​$∠ E+∠ 1=180°-60°=120°，$​
​$∠ F+∠ 2=180°-60°=120°，$​
​$ $​所以​$∠ 1+∠ 2+∠ E+∠ F=120°+120°=240°，$​
​$ $​即​$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=240°。$
​
70
96
$∠ BCD=2∠ BAD$
$2∠ BAD+∠ BCD=360°$
证明：​$(3)$​如图​$②$​所示，设​$AB，CD$​交于点​$E，$​
​$ $​在​$△ BCE$​中，​$∠ BED=∠ B+∠ BCD，$​
​$ $​在​$△ ADE$​中，​$∠ BED=∠ BAD+∠ D，$​
∴​$∠ B+∠ BCD=∠ BAD+∠ D。$​
又∵​$∠ B=∠ BAC，$​​$∠ D=∠ DAC，$​
∴​$∠ BCD=∠ BAD+∠ D-∠ B$​
​$=∠ BAD+(∠ DAC-∠ BAC)。$​
∵​$∠ DAC-∠ BAC=∠ BAD，$​
∴​$∠ BCD=∠ BAD+∠ BAD，$​
∴​$∠ BCD=2∠ BAD。$​

​$ (4) ∠ BPD$​的度数为​$75°$​或​$165°$​或​$15°。$​
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