第149页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

$\boldsymbol{\frac{180°}{n}+\frac{(n-1)α}{n}}$

解：$ (1) $因为$BO_{1}，CO_{1}$分别平分$∠ ABC，∠ ACB，$

所以$∠ ABC=2∠ O_{1}BC，∠ ACB=2∠ O_{1}CB，$

所以$2(∠ O_{1}BC+∠ O_{1}CB)=∠ ABC+∠ ACB。$

$ $因为$∠ A=α，$所以$∠ ABC+∠ ACB=180°-α，$

$ $所以$∠ BO_{1}C=180°-(∠ O_{1}BC+∠ O_{1}CB)$

$=180°-\frac {1}{2}(180°-α)=90°+\frac {1}{2}α。$

$ (2) $因为$∠ ABC，∠ ACB$的两条三等分线分别对

应交于$O_{1}，O_{2}，$

所以$∠ O_{2}BC=\frac {2}{3}∠ ABC，∠ O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ ACB，$

$ $所以$∠ O_{2}BC+∠ O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ ABC+\frac {2}{3}∠ ACB$

$=\frac {2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac {2}{3}(180°-α)，$

$ $所以$∠ BO_{2}C=180°-(∠ O_{2}BC+∠ O_{2}CB)$

$=180°-\frac {2}{3}(180°-α)$

$=60°+\frac {2}{3}α。$

解：$∠ BEC=90°-\frac {1}{2}∠ A，$理由如下：

$ $因为$∠ CBD+∠ ABC=∠ A+∠ ACB+∠ ABC，$

所以$∠ CBD=∠ A+∠ ACB。$

$ $因为$BE$平分$∠ CBD，$

所以$∠ EBC=\frac {1}{2}∠ CBD=\frac {1}{2}(∠ A+∠ ACB)。$

同理，$∠ ECB=\frac {1}{2}(∠ A+∠ ABC)。$

$ $所以$∠ BEC=180°-∠ EBC-∠ ECB$

$=180°-\frac {1}{2}(∠ A+∠ ACB)-\frac {1}{2}(∠ A+∠ ABC)$

$=180°-\frac {1}{2}∠ A-\frac {1}{2}(∠ A+∠ ABC+∠ ACB)$

$=90°-\frac {1}{2}∠ A。$

$\boldsymbol{\frac{α}{2^{2026}}}$

解：$(1) OC⊥ OD，$理由如下：

$ $因为三角形的三条角平分线交于点$O，$

所以$∠ AOB=180°-\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$

$=180°-\frac {1}{2}(180°-∠ ACB)$

$=90°+\frac {1}{2}∠ ACB。$

$ $因为$∠ AOB=∠ ODB=∠ COD+∠ OCD，$

所以$90°+\frac {1}{2}∠ ACB=∠ COD+∠ OCD。$

$ $又因为$∠ OCD=\frac {1}{2}∠ ACB，$

所以$∠ COD=90°，$

所以$OC⊥ OD。$

$ (2) $因为$CF $平分$∠ ACE，$$CO$平分$∠ ACB，$

所以$∠ ACO=\frac {1}{2}∠ ACB，∠ ACF=\frac {1}{2}∠ ACE。$

$ $所以$∠ ACO+∠ ACF=\frac {1}{2}(∠ ACB+∠ ACE)$

$=\frac {1}{2}×180°=90°，$

即$∠ FCO=90°。$

$ $因为$∠ COD=90°，$

所以$∠ FCO=∠ COD，$

所以$CF// OD。$

$\boldsymbol{40°}$

$\boldsymbol{70°}$

解：$(3)$互补，理由如下：

$ $因为$BO，CO$分别是$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线，

所以$∠ ABO=∠ OBC，∠ OCA=∠ OCB，$

$ $所以$∠ α=180°-(∠ OBC+∠ OCB)$

$=180°-\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)。$ ①

$ $因为$BP，CP{分别是}△ ABC$的外角平分线，

所以$∠ PBC+∠ PCB$

$=\frac {1}{2}[360°-(∠ ABC+∠ ACB)]$

$=180°-\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)，$

$ $所以$∠ β=180°-(∠ PBC+∠ PCB)$

$=180°-180°+\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$

$=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)。$ ②

①+②，得$∠ α+∠ β=180°，$

所以∠ α与∠ β互补。