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解​$：(1)$​设可制作竖式箱子​$x$​个​$，$​
则需要​$A$​型板材​$x$​张​$，B$​型板材​$4x$​张​$，$​
根据题意得​$30x+90×4x≤10000，$​
解得​$x≤25\frac {25}{39}.$​
​$ $​答​$：$​最多可以制作​$25$​个竖式箱子​$.$​
​$ (2)①$​设制作竖式箱子​$a$​个​$，$​横式箱子​$b$​个​$，$​
根据题意得​$\begin {cases}a+2b=65，\\4a+3b=110，\end {cases}$​
解得​$\begin {cases}a=5，\\b =30.\end {cases}$​
​$ $​答​$：$​制作竖式箱子​$5$​个、横式箱子​$30$​个​$，$​恰好将
库存的板材用完​$.$​
解​$： (1)100×10×(1-10\%)×2=1800($​元​$)≠1890$​元​$，$​
则两次邮购商品数量不同.
设两次分别邮购商品​$x$​个、​$y$​个​$(x＜y)，$​
∴​$x＜100，y＞100.$​
​$ $​依据题意可得​$\begin {cases}x+y=200，\\10×(1+5\%)x+10×(1-10\%)y=1890，\end {cases}$​
解得​$\begin {cases}x=60，\\y =140.\end {cases}$​
​$ $​答​$：$​两次分别邮购商品​$60$​个、​$140$​个​$.$​
​$ (2)$​由题意可得
​$\frac {13.5×0.1× a-10×(1-10\%)}{10×(1-10\%)}≥5\%，$​
解得​$a≥7.$​
∴​$a$​的最小值为​$7.$​
答​$：$​最低可以打​$7$​折出售这批商品​$.$​
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