解$: (1)$设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每
箱的进价分别是$x$元和$y$元$,$
根据题意得$\begin {cases}3x+2y=420,\\4x+5y=910,\end {cases}$
解得$\begin {cases}x=40,\\y =150,\end {cases}$
故特级鲜品猴头菇每箱进价为$40$元$,$特级干品
猴头菇每箱进价为$150$元$.$
$ (2)$设商店计划购进特级鲜品猴头菇$m_{箱},$
则购进特级干品猴头菇$(80-m)$箱$,$
$ $根据题意得$\begin {cases}(50-40)m+(180-150)(80-m)≥1560,\\80-m≤40,\end {cases}$
$ $解得$40≤ m≤42.$
∵$m $为正整数$,$
∴$m=40$或$41$或$42,$
故该商店有三种进货方案,分别为
$①$购进特级鲜品猴头菇$40$箱$,$特级干品猴头菇$40$箱$;$
$②$购进特级鲜品猴头菇$41$箱$,$特级干品猴头菇$39$箱$;$
$③$购进特级鲜品猴头菇$42$箱$,$特级干品猴头菇$38$箱$.$
$ (3)$商店的进货方案是购进特级干品猴头菇$40$箱$,$
特级鲜品猴头菇$40$箱$.$