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证明：​$(1)$​∵​$∠ EFG=120°，$​顶点​$F $​在直线​$CD$​
上，
∴​$∠ CFE+∠ GFD=180°-∠ EFG$​
​$=180°-120°=60°。$​
∵​$∠ CFE+∠ GHB=60°，$​
∴​$∠ GHB=∠ GFD，$​
∴​$AB// CD。$​
​$ (2)$​设​$∠ GFD=α，$​
∵​$∠ EFG=120°，$​
∴​$∠ EFD=120°+α。$​
∵​$FN$​是​$∠ EFD$​的平分线，
∴​$∠ NFD=\frac {1}{2}(120°+α)=60°+\frac {1}{2}α，$​
∴​$∠ NFH=∠ NFD-∠ GFD=60°+\frac {1}{2}α-α$​
​$=60°-\frac {1}{2}α。$​
∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ GHB=∠ GFD=α。$​
∵​$HN$​是​$∠ AHG $​的平分线，
∴​$∠ NHG=\frac {1}{2}∠ AHG$​
​$=\frac {1}{2}(180°-α)$​
​$=90°-\frac {1}{2}α。$​
∵​$∠ NHG $​是​$△ NFH$​的一个外角，
∴​$∠ N=∠ NHG-∠ NFH$​
​$=(90°-\frac {1}{2}α)-(60°-\frac {1}{2}α)$​
​$=30°。$​
​$ (3)∠ BHP+∠ FHP=180°$​或​$∠ FHP-∠ BHP$​
​$=60°$​
解：​$(1)AB// CD。$​理由如下：
∵​$EM$​平分​$∠ AEF，$​
∴​$∠ AEM=∠ FEM。$​
∵​$∠ FEM=∠ FME，$​
∴​$∠ AEM=∠ FME，$​
∴​$AB// CD。$​
​$ (2) ① $​∵​$HN⊥ EM，$​
∴​$∠ HNE=90°。$​
∵​$α=30°，$​
∴​$∠ HEN=90°-∠ EHN=60°。$​
∵​$EH$​平分​$∠ FEG，$​
∴​$∠ HEF=∠ HEG。$​
∵​$∠ AEM=∠ MEF，$​
∴​$∠ HEN=\frac {1}{2}∠ FEG+\frac {1}{2}∠ AEF$​
​$=\frac {1}{2}∠ AEG=60°$​
∴​$∠ AEG=120°，$​
∴​$∠ GEB=60°。$​
∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ BEG=∠ EGF=β=60°。$​
② 猜想：​$α=\frac {1}{2}β$​或​$α=90°-\frac {1}{2}β，$​证明如下：
​$ $​当点​$G $​在点​$F $​的右侧时，如图①，

∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ BEG=∠ EGH=β，$​
∴​$∠ AEG=180°-β。$​
∵​$∠ AEM=∠ MEF，$​​$∠ HEF=∠ HEG，$​
∴​$∠ HEN=\frac {1}{2}∠ AEG=90°-\frac {1}{2}β。$​
∵​$HN⊥ EM，$​
∴​$∠ HNE=90°，$​
∴​$α=∠ EHN=90°-∠ HEN=\frac {1}{2}β。$​
​$ $​当点​$G $​在点​$F $​的左侧时，如图②，
∵​$AB// CD，$​
∴​$∠ BEG=180°-∠ EGH=180°-β，$​
​$∠ AEG=∠ EGH=β。$​
∵​$EM$​平分​$∠ AEF，$​​$EH$​平分​$∠ FEG，$​
∴​$∠ MEF=∠ AEM=∠ EMF=\frac {1}{2}∠ AEF，$​
​$∠ HEF=∠ HEG=\frac {1}{2}∠ FEG，$​
∴​$∠ HEN=∠ MEF-∠ HEF$​
​$=\frac {1}{2}(∠ AEF-∠ FEG)$​
​$=\frac {1}{2}∠ AEG=\frac {1}{2}β。$​
∵​$HN⊥ EM，$​
∴​$∠ HNE=90°，$​
∴​$α=∠ EHN=90°-∠ HEN=90°-\frac {1}{2}β。$​
综上所述，​$α=\frac {1}{2}β$​或​$α=90°-\frac {1}{2}β。$​
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