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$15°$
$45°$
解：​$(2)$​当​$0°＜θ＜45°$​时，​$β-α=60°；$​
当​$45°＜θ＜90°$​时，​$β+α=60°。$​
理由如下：
​$ $​当​$0°＜θ＜45°$​时，
在​$△ ABC$​中，​$∠ A = 90°，$​​$∠ ABC = 45°，$​
∴​$∠ MBE = 180°-45°=135°，$​
∴​$∠ BEM = ∠ CEF = 180°-(∠ BME + 135°)$​
​$=45°-∠ BME。$​
∵​$∠ DEF = 30°，$​
​$∠ NCE = 180°-90°-45°=45°，$​
∴​$∠ CNE = 180°-(∠ NEC + ∠ NCE)$​
​$=180°-(30°+45°-∠ BME + 45°)$​
​$=60°+∠ BME，$​
即​$β-α=60°；$​
​$ $​当​$45°＜θ＜90°$​时，
在​$△ ABC$​中，​$∠ A = 90°，$​​$∠ ABC = 45°，$​
∴​$∠ BEM = 180°-(∠ BME + 45°)$​
​$=135°-∠ BME，$​
∴​$∠ CEM = 45°+∠ BME。$​
∵​$∠ DEF = 30°，$​
​$∠ NCE = 180°-90°-45°=45°，$​
∴​$∠ CNE = 180°-(∠ NEC + ∠ NCE)$​
​$=180°-(30°+45°+∠ BME + 45°)$​
​$=60°-∠ BME，$​
即​$β+α=60°。$​
​$ $​当​$θ=45°$​时，​$EF// AB，$​点​$M$​不存在，
故舍去该情况。
综上所述，当​$0°＜θ＜45°$​时，​$β-α=60°；$​
当​$45°＜θ＜90°$​时，​$β+α=60°。$​
​$ (3)θ$​的取值范围是​$27°＜θ＜45°$​或​$45°＜θ＜75°。$​
$BD=\frac{1}{2}BC$
$AP⊥ BC$
$10°$
$10°$或$30°$或$65°$或$100°$
解​$：(2)$​设​$∠BAD=∠B'AD=α，$​
∵​$∠B=∠C=70°，$​
由折叠的性质可得​$∠BDA=∠B'DA$​
​$=180°−70°−α=110°−α. $​
又∵​$∠BDA+∠ADC=180°， $​
∴​$∠ADC=180°−(110°−a)=70°+α， $​
∴​$∠CDB'=∠ADB'−∠ADC$​
​$=110°−a−(70°+α)=40°−2α， $​
∴​$∠CDB'=40°−2∠BAD， $​
则​$∠CDB'+2∠BAD=40°. $​
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