解：$(1) $由方程$x-3=0$解得$x=3，$
由不等式组$\begin {cases}x-5≤0\\-2x＜-4\end {cases}，$解得$2＜x≤5，$
∴方程$x-3=0$是不等式组的$“$相依方程$”。$
$(2) $由不等式组$\begin {cases}2x-1＞x-2&①\\3(x+1)≤6&②\end {cases}$
解得$-1＜x≤1，$
由方程$3x-k=6$解得$x=\frac {6+k}{3}。$
∵关于$x$的方程$3x-k=6$不是不等式组
$\begin {cases}2x-1＞x-2&①\\3(x+1)≤6&②\end {cases}$的$“$相依方程$”，$
∴$\frac {6+k}{3}≤-1$或$\frac {6+k}{3}＞1，$
$ $解得$k≤-9$或$k＞-3。$
$ (3) $由方程$2x+3=4m_{解得}x=\frac {4m-3}{2}，$
由不等式组$\begin {cases}x-m＞-1&①\\\frac {x-1}{3}≤ m&②\end {cases}$
解得$m-1＜x≤3m+1。$
∵不等式组仅有$3$个整数解，
令整数的值为$n，n+1，n+2，$
则有$n-1≤ m-1＜n，$$n+2≤3m+1＜n+3，$
故$\begin {cases}n≤ m＜n+1\\\frac {n+1}{3}≤ m＜\frac {n+2}{3}\end {cases}，$
∴$\frac {n+2}{3}＞n$且$\frac {n+1}{3}＜n+1，$
∴$-1＜n＜1，$
∴$n=0，$
∴$\begin {cases}0≤ m＜1\\\frac {1}{3}≤ m＜\frac {2}{3}\end {cases}，$
∴$\frac {1}{3}≤ m＜\frac {2}{3}。$
∵关于$x$的方程$2x+3=4m $是关于$x$的不等式组
$\begin {cases}x-m＞-1&①\\\frac {x-1}{3}≤ m&②\end {cases}$的$“$相依方程$”，$
∴$m-1＜\frac {4m-3}{2}≤3m+1，$
解得$m＞\frac {1}{2}，$
∴$m $的取值范围是$\frac {1}{2}＜m＜\frac {2}{3}。$
