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第23页

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11或5

$\sqrt{22}$

$\frac{25}{2}$

 解：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理，

得$CD^2=BC^2-DB^2=15^2-9^2=144。$

 $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，

得$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-144=256。$

 $\therefore AD=16$（负值舍去）。

$\therefore AB=AD+DB=16+9=25$

$ (1) $证明：由题意，易知$Rt△ ABC≌Rt△ BED，$$∠ C=∠ D=90°。$

∴$∠ ABC=∠ BED。$

∴$∠ ABC+∠ EBD=∠ BED+∠ EBD=180°-∠ D=90°。$

∴$∠ ABE=180°-(∠ ABC+∠ EBD)=90°$

$ (2) $证明：由题意，得$S_{梯形ACDE}=\frac {1}{2}(a+b)(a+b)=\frac {1}{2}c^2+2×\frac {1}{2}ab。$

整理得：$\frac {1}{2}(a^2+2ab+b^2)=\frac {1}{2}c^2+ab，$

$ $两边同乘$2$得：$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab，$

∴$a^2+b^2=c^2$

解：连接$BD。$∵在等腰直角三角形$ABC$中，$∠ ABC=90°，$

$D$为边$AC$的中点，

∴$AB=BC，$$∠ A=∠ C=∠ ABD=∠ CBD=45°，$$∠ BDC=90°。$

∴$CD=BD=AD。$

又∵$DE⊥ DF，$∴$∠ EDF=90°。$

∴$∠ EDB+∠ BDF=∠ BDF+∠ FDC=90°。$

∴$∠ FDC=∠ EDB。$

$ $在$△ FCD$和$△ EBD$中，

∵$∠ FDC=∠ EDB，$$CD=BD，$$∠ C=∠ EBD，$

∴$△ FCD≌△ EBD。$

∴$FC=EB=3。$

∴$AB=AE+EB=7。$∴$BC=7。$

∴$BF=BC-FC=4。$

$ $在$Rt△ BEF_{中}，$由勾股定理，

得$EF^2=EB^2+BF^2=3^2+4^2=25。$

∴$EF=5($负值舍去$)$