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第29页

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$\sqrt{2}$

$45°$

$ (1) $证明：∵$AD⊥ BC，$∴$∠ ADB=∠ ADC=90°.$

$ $在$Rt△ ABD$中，$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+2^2=20.$

$ $在$Rt△ ACD$中，$AC^2=CD^2+AD^2=8^2+4^2=80.$

∵$BC=CD+BD=10，$∴$BC^2=10^2=100.$

∵$20+80=100，$∴$AB^2+AC^2=BC^2.$

∴$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°.$

$ (2) $解：由$(1)$得$AB=\sqrt {AD^2+BD^2}=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt {5}.$

分两种情况：

$ ① $当$BP=AB$时，$BP=2\sqrt {5}；$

$ ② $当$AP=AB$时，∵$AD⊥ BC，$∴$BD=DP=2，$

∴$BP=2BD=4.$

综上所述，$BP $的长为$2\sqrt {5}$或$4.$

 (1) 证明：$\because AD$是$△ ABC$的边$BC$上的中线，$\therefore BD=CD.$

 在$△ ABD$和$△ ECD$中，

 $\begin{cases}AD=ED \\∠ ADB=∠ EDC \\BD=CD\end{cases}$

 $\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})，$$\therefore CE=AB=3.$

 $\because AE=AD+ED=4，$$\therefore AE^2=16，$$CE^2=9，$$AC^2=25.$

 $\because 9+16=25，$$\therefore CE^2+AE^2=AC^2.$

 $\therefore △ AEC$是直角三角形，且$∠ E=90°，$即$CE⊥ AE.$

 (2) 解：在$\mathrm{Rt}△ CED$中，由勾股定理得：

 $CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}，$

 $\therefore BC=2CD=2\sqrt{13}.$

 解：当$n=1$时，$a=\frac{1}{2}(m^2-1)，$$b=m，$$c=\frac{1}{2}(m^2+1)$（$m＞n＞0，$$m,n$为互质的奇数）.

 ① 若$a=5，$则$\frac{1}{2}(m^2-1)=5，$解得$m=\pm\sqrt{11}，$不符合条件，舍去；

 ② 若$b=5，$则$m=5，$

 $\therefore a=\frac{1}{2}×(5^2-1)=12，$$c=\frac{1}{2}×(5^2+1)=13；$

 ③ 若$c=5，$则$\frac{1}{2}(m^2+1)=5，$解得$m=3$（$m=-3$舍去），

 $\therefore a=\frac{1}{2}×(3^2-1)=4，$$b=3.$

 综上所述，直角三角形的另外两条边的长为12,13或3,4.