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 解：延长$AD，$$BC$交于点$E。$

 由题意，得$∠ E = 30°，$$∠ CDE = 90°。$

 $\therefore CE = 2CD = 12。$

 在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理，得$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=6\sqrt{3}。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE = 2AB = 20，$

 $\therefore$由勾股定理，得$BE=\sqrt{AE^2 - AB^2}=10\sqrt{3}。$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}AB· BE-\frac{1}{2}CD· DE=50\sqrt{3}-18\sqrt{3}=32\sqrt{3}，$

 即四边形$ABCD$的面积为$32\sqrt{3}$

 解：

 (1) 连接$AC。$

 $\because AB = BC = 2，$$∠ B = 60°，$$\therefore △ ABC$是等边三角形。

 $\therefore AC = 2，$$∠ ACB = 60°。$

 $\because AD = 2\sqrt{5}，$$CD = 4，$

 $\therefore$易得$AC^2+CD^2=AD^2。$

 $\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD = 90°。$

 $\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD = 150°$

 (2) 过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E。$

由

 (1)，知$△ ABC$为等边三角形，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC = 1。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{3}。$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}BC· AE+\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2×4=4+\sqrt{3}$