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第45页

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$(3,-1)$

$\frac{2\sqrt{21}}{7}$

 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore ∠ C+∠ ADC=180°，$$AB// CD，$$AD// BC。$

 $\therefore ∠ ADF=∠ DEC。$

 $\because ∠ AFD+∠ AFE=180°，$$∠ AFE=∠ DAF+∠ ADF=∠ EDC+∠ ADF=∠ ADC，$

 $\therefore ∠ AFD=∠ C。$

 在$△ AFD$和$△ DCE$中，

 $\begin{cases}∠ AFD=∠ C, \\∠ DAF=∠ EDC, \\AD=DE,\end{cases}$

 $\therefore △ AFD ≌ △ DCE。$$\therefore DF=EC$

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB// CD，$$OA=OC。$

∴$∠ EAO=∠ FCO。$

$ $在$△ AOE$和$△ COF_{中}，$

$ \begin {cases}∠ EAO=∠ FCO， \\OA=OC， \\∠ AOE=∠ COF，\end {cases}$

∴$△ AOE ≌ △ COF。$∴$AE=CF$

$ (2) $解：在$▱ABCD$中，∵$BD=13，$∴$OB=OD=\frac {1}{2}BD=\frac {13}{2}。$

∵$∠ FEB=90°，$∴在$Rt△ BOE$中，$OE^2+BE^2=OB^2。$

∴$OE^2+6^2=(\frac {13}{2})^2，$解得$OE=\frac {5}{2}。$

由

$ (1)$得$△ AOE ≌ △ COF，$则$OE=OF，$

∴$EF=2OE=2×\frac {5}{2}=5$

 (1) 解：$\because ∠ C=60°，$$AC=BC，$$\therefore △ ABC$是等边三角形。

 $\therefore ∠ ABC=∠ C=60°，$$AB=BC。$

 在$△ ABE$和$△ BCF$中，

 $\begin{cases}AB=BC, \\∠ ABE=∠ C, \\BE=CF,\end{cases}$

 $\therefore △ ABE ≌ △ BCF。$$\therefore ∠ BAE=∠ CBF。$

 $\therefore ∠ EGB=∠ ABG+∠ BAE=∠ ABG+∠ CBF=∠ ABC=60°$

 (2) 证明：如图，延长$GE$至点$H，$使$GH=GB，$连接$BH。$

 $\because ∠ EGB=60°，$$\therefore △ BGH$为等边三角形。

 $\therefore BG=BH=GH，$$∠ GBH=60°。$

 易得$△ ABD$是等边三角形，$\therefore AB=DB，$$∠ ABD=60°。$

 $\because ∠ ABH=∠ GBH+∠ ABG，$$∠ DBG=∠ ABD+∠ ABG，$

 $\therefore ∠ ABH=∠ DBG。$

 在$△ DBG$和$△ ABH$中，

 $\begin{cases}DB=AB, \\∠ DBG=∠ ABH, \\BG=BH,\end{cases}$

 $\therefore △ DBG ≌ △ ABH。$$\therefore DG=AH。$

 $\because AH=AG+GH，$$\therefore DG=AG+BG$