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​$ D$​
16
$2.4≤ x＜4$
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AB// CD$​，
∴​$∠ MAB=∠ NCD$​。
​$ $​在​$△ ABM$​和​$△ CDN$​中，
​$ \begin {cases}AB=CD \\∠ MAB=∠ NCD \\AM=CN\end {cases}$​
∴​$△ ABM≌△ CDN(\mathrm {SAS})$​。
​$ (2) $​连接​$EF$​，交​$AC$​于点​$O$​。
∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AD=BC$​，​$∠ ABC=90°$​，
∴​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=5$​。
∵​$E$​，​$F $​分别是​$AD$​，​$BC$​的中点，
∴​$AE=BF=ED=FC$​，
∴四边形​$ABFE$​是矩形，
∴​$EF=AB=3$​。
​$ $​在​$△ AEO$​和​$△ CFO$​中，
​$ \begin {cases}∠ EOA=∠ FOC \\∠ EAO=∠ FCO \\AE=CF\end {cases}$​
∴​$△ AEO≌△ CFO(\mathrm {AAS})$​，
∴​$EO=FO$​，​$AO=CO=\frac {5}{2}$​，
∴​$O$​为​$EF$​，​$AC$​的中点。
∵​$∠ EGF=90°$​，
∴​$OG=\frac {1}{2}EF=\frac {3}{2}$​，
∴​$AG=OA-OG=1$​或​$AG=OA+OG=4$​，
即​$AG $​的长为​$1$​或​$4$​。
-1
$\sqrt{106}$
$PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$
$\sqrt{30}-2$

解​$： (2) $​成立，理由如下：
∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$∠ BAD=∠ ABC=∠ ADC=∠ BCD=90°$​，
∴​$∠ EAB=∠ FBA=90°$​。
∵过点​$P_{作}EF⊥ AD$​，分别交​$AD$​，​$BC$​反向延长
线于点​$E$​，​$F$​，
∴​$∠ AEF=90°$​，
∴四边形​$ABFE$​和四边形​$DCFE$​都是矩形，
∴​$AE=BF$​，​$DE=CF$​。
∵​$PD^2=DE^2+PE^2=CF^2+PE^2$​，
​$PA^2=AE^2+PE^2=BF^2+PE^2$​，
∴​$PD^2-PA^2=CF^2-BF^2$​。
∵​$PC^2=CF^2+PF^2$​，​$PB^2=BF^2+PF^2$​，
∴​$PC^2-PB^2=CF^2-BF^2$​，
∴​$PC^2-PB^2=PD^2-PA^2$​，
∴​$PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$​。
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