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$\sqrt{7}$
5
$\frac{24}{5}$
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$ND// AM$​，
∴​$∠ NDE=∠ MAE$​，​$∠ DNE=∠ AME$​。
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$DE=AE$​。
​$ $​在​$△ NDE$​和​$△ MAE$​中，
​$ \begin {cases}∠ NDE=∠ MAE\\∠ DNE=∠ AME\\DE=AE\end {cases}$​
∴​$△ NDE≌△ MAE(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ND=MA$​，
∴四边形​$AMDN$​是平行四边形。
​$ (2) $​当​$AM=1$​时，四边形​$AMDN$​是矩形。
理由：∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$AD=AB=2$​。
​$ $​要使得平行四边形​$AMDN$​是矩形，
则​$DM⊥ AB$​，即​$∠ DMA=90°$​。
∵​$∠ DAB=60°$​，
∴​$∠ ADM=30°$​，
∴​$AM=\frac {1}{2}AD=1$​。
$1:3$
$DM⊥ EM$
2
解​$： (2) $​证明：仍然成立。
如图②，延长​$EM$​交​$DA$​延长线于点​$H$​，

​$ $​在菱形​$ABCD$​与菱形​$CEFG_{中}$​，
​$AD// BC$​，​$GC// EF$​，​$AD=DC$​，
​$CE=EF$​，
∵点​$G $​在​$BC$​上，
∴​$EF// CG// AD$​，
∴​$∠ MAH=∠ MFE$​，​$∠ H=∠ MEF$​。
∵​$M$​是​$AF $​的中点，
∴​$AM=FM$​。
​$ $​在​$△ AMH$​与​$△ FME$​中，
​$ \begin {cases}∠ MAH=∠ MFE\\∠ H=∠ MEF\\AM=FM\end {cases}$​
∴​$△ AMH≌△ FME(\mathrm {AAS})$​，
∴​$AH=EF$​，​$HM=EM$​。
∵​$CE=EF$​，
∴​$AH=CE$​。
∵​$AD=CD$​，
∴​$AD+AH=CD+CE$​，
即​$DH=DE$​。
又∵​$HM=EM$​，
∴​$DM⊥ EM$​。
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